Noch bessere Effizienz?

22.05.2022, 11:05

quadrierer

Noch bessere Effizienz?

Gegeben sind mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{2} \end{eqnarray*}$ zwei beliebig große Kreise $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_1. \end{eqnarray*}$ Nachfolgend zitiertes Verfahren (www.youtube.com/watch?v=HpUJVLguX68) konstruiert an beide Kreise $\begin{eqnarray*} k_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_{2} \end{eqnarray*}$ mit endlich vielen Schritten eine bzw. zwei äussere Tangenten, welche die beiden Kreise $\begin{eqnarray*} k{_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_{2} \end{eqnarray*}$ gemeinsam berühren.

Fragen:

1. Gibt es hierzu auch noch effizientere Lösungszusammenhänge, die Lösungssequenzen aus zusammenhängend konstruierten Kreis- und Gerade- Kurven sind? Gesucht sind somit Verfahren mit möglichst nur wenigen Kreis- und Gerade-Objekten bis zum Ziel?

2. Gibt es für die konstruiert ermittelten Berührungspunkte vollständig abbildende diskrete Zahlen, die mit endlich vielen Schritten bzw. Nachkommastellen vollständig dargestellt sind?

22.05.2022, 21:38

Leopold

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Das sieht wieder mal nach einer Aufgabe aus, bei der du schon eine Lösung hast, aber so tust, als wäre das nicht der Fall. Warum stellst du uns deine Lösung nicht vor? Dann schauen wir uns das zusammen an.
Auch sollte der Begriff Effizienz im vorhinein geklärt werden. Was gilt als elementarer Konstruktionsschritt, was nicht? So ist zum Beispiel das Zeichnen einer Parallelen, indem man ein Geodreick an einem Lineal entlanggleiten läßt, im klassischen Sinn kein elementarer Schritt. Da muß die Parallele auch mit Hilfe von Kreisen und Geraden konstruiert werden. Aber man könnte selbstverständlich vereinbaren, das Spektrum der elementaren Schritte zu erweitern.

Zitat:

Original von quadrierer
2. Gibt es für die konstruiert ermittelten Berührungspunkte vollständig abbildende diskrete Zahlen, die mit endlich vielen Schritten bzw. Nachkommastellen vollständig dargestellt sind?

Ich weiß nicht genau, was du meinst. Grundsätzlich gilt, daß alle Konstruktionen, die nur endlich viele Kreise, Geraden und deren Schnitte verwenden, auf lineare oder quadratische Gleichungen in den Koordinaten der Punkte führen. Daher lassen sich alle konstruierten Punkte aus den gegebenen Größen durch die rationalen Operationen und das Ziehen von Quadratwurzeln bis zu beliebiger endlicher (!) Tiefe ausdrücken.

Übrigens hätte ich die Aufgabe spontan so gelöst. Die Idee ist, den kleineren Kreis durch eine zentrische Streckung auf den größeren abzubilden.

[attach]55154[/attach]

1. Das Streckzentrum $\begin{align*} Z \end{align*}$ muß auf der gemeinsamen Zentralen der beiden Kreise liegen.

2. Zunächst beschafft man sich zwei parallele Radien auf derselben Seite der Zentrale. (Liegen die Radien auf verschiedenen Seiten der Zentrale, führt die Konstruktion auf die inneren Tangenten.)

3. Die Gerade durch die Enden der Radien schneidet die Zentrale in $\begin{align*} Z \end{align*}$ .

4. Jetzt konstruiert man von $\begin{align*} Z \end{align*}$ aus die Tangenten an den kleinen oder großen Kreis. Sie sind von selbst Tangenten an den andern Kreis. Diese Konstruktion ist bekannt und nimmt den Thaleskreis der Strecke von $\begin{align*} Z \end{align*}$ zu einem Kreismittelpunkt zu Hilfe.

28.05.2022, 14:03

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold Das sieht wieder mal nach einer Aufgabe aus, bei der du schon eine Lösung hast, aber so tust, als wäre das nicht der Fall. Warum stellst du uns deine Lösung nicht vor?

Nun, ich hoffe, dass Einige einfache elementare Aufgaben, die mit höchster Effizienz gelöst werden sollen, interessant finden und sich deshalb an meiner hier gestellten Aufgabe versuchen wollen, so wie du es tust und dabei eine verbesserte Effizienz erreichst.

Wie du vermutest, ich habe tatsächlich eine eigene Lösung, die ich später noch vorstelle. Ich bin mir aber nicht sicher, ob die Effizienz meiner Lösung nicht noch überboten werden kann?

Zitat:

Original von Leopold „Auch sollte der Begriff Effizienz im vorhinein geklärt werden. Was gilt als elementarer Konstruktionsschritt, was nicht?

Ich möchte es so sehen : Eine mit dem strichlosen Lineal konstruierte Gerade durch zwei gegeben Punkte ist ein elementarer Schritt. Eine mit dem Zirkel konstruierter Kreis; Kreisbogen ist ausgehend von zwei gegeben Punkten (Mittelpunkt und Kreiskurvenpunkt) ein anderer elementarer Schritt. Heute wird eine Linie / Kurve punktweise als darzustellende Punktekurve berechnet und dargestellt, was beim Kreis aufwendiger ist als bei einer Kurve „Gerade“.

Effizienz bedeutet, das Ziel mit einer möglichst kurzen Sequenz von zusammenhängenden Kreisen und Geraden zu erreichen. Wesentlich ist daher heute die benötigte Rechenzeit-Summe für die jeweils benötigten elementaren Lösungsschritte. So ist ein Beispiel mit einer Sequenz aus mehr einfachen Geraden und weniger elementar zu konstruierenden Parallelen bzw. weniger Kreisen bis zum Ergebnis offenbar etwas effizienter.

27.06.2022, 20:35

quadrierer

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Zitat:

Original von Leopold Das sieht wieder mal nach einer Aufgabe aus, bei der du schon eine Lösung hast, aber so tust, als wäre das nicht der Fall. Warum stellst du uns deine Lösung nicht vor? Dann schauen wir uns das zusammen an.

Hier nun meine Lösung, deren Lösungssequenz anhand der laufenden Nummern an den Objekten eindeutig nachvolltzogen werden kann.

[attach]55484[/attach]

Diese Lösung ist sehr effizient. Kennt jemand eine Lösung hierzu, die mit noch weniger konstruierten Schritten, das sind gezeichnete zusammenhängende Kurven-Objekte von Kreis und Gerade, auskommt?

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