Totales Differential

23.05.2022, 01:29	Panicky Pinguin	Auf diesen Beitrag antworten »
Totales Differential Meine Frage: Wie würde man bei einer totales Differential Aufgabe vorgehen? "gesucht wird das totales Differential von der Funktion [w(x;y;z)= ln{x^{2} - 2y+ 3z^{2} } ] an der Punkt = [(x0;y0;z0)] mit x0=2 y0=1 z0=2 und dx=2dy=4dz=0,2 Meine Ideen: Ich kann gerade erst die partielle Ableitung berechnen und weiss noch gar nicht, wie man mit totales Differential vor allem in so einer Aufgabenstellung umgehen soll. Für jegliche Tips oder Aufklärungen von euch wäre ich sehr dankbar.
23.05.2022, 03:18	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich rechne dir ein einfacheres Beispiel vor. Gesucht sei das totale Differential von $\begin{eqnarray} f(x,y) := x^2+y^2 \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} (x_0,y_0). \end{eqnarray}$ Die Funktionen $\begin{eqnarray} (x,y)\mapsto x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x,y)\mapsto y \end{eqnarray}$ sind offenkundig (an jeder Stelle) differenzierbar. Laut den Ableitungsregeln sind folglich $\begin{eqnarray} (x,y)\mapsto x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x,y)\mapsto y^2 \end{eqnarray}$ differenzierbar. Laut der Summenregel ist mithin $\begin{eqnarray} (x,y)\mapsto x^2+y^2 \end{eqnarray}$ differenzierbar. Folglich existiert das totale Differential. Man berechnet $\begin{eqnarray} \mathrm df(x,y) = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\mathrm dy = 2x\,\mathrm dx+2y\,\mathrm dy, \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \mathrm df(x_0,y_0) = 2x_0\,\mathrm dx + 2y_0\,\mathrm dy. \end{eqnarray}$ Nun kann man das Differential mit einem Vektor $\begin{eqnarray} \mathbf v = v_1\mathbf e_x+v_2\mathbf e_y \end{eqnarray}$ paaren, das geht so: $\begin{eqnarray} \mathrm df(x_0,y_0)(\mathbf v) = 2x_0\,\mathrm dx(\mathbf v)+2y_0\,\mathrm dy(\mathbf v) = 2x_0 v_1 + 2y_0 v_2. \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_0=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbf v=2\mathbf e_x+3\mathbf e_y \end{eqnarray}$ gilt beispielsweise $\begin{eqnarray} \mathrm df(x_0,y_0)(\mathbf v) = 2\cdot 1\cdot 2 + 2\cdot 0\cdot 3 = 4. \end{eqnarray}$ Klassisch notiert man anstelle der Paarung einfach die Einsetzungen $\begin{eqnarray} \mathrm dx = v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathrm dy = v_2. \end{eqnarray}$ Nach moderner Terminologie ist das aber schludrig, weil ein Kovektor nicht einfach so mit einer Konstante gleichgesetzt werden sollte. Der genau Formalismus zu der Paarung ist unter dem Begriff Linearform beschrieben.

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