X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y |
23.05.2022, 09:38 | Taschenrechner548 | Auf diesen Beitrag antworten » |
X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y Ich habe zwei Zufallsvariablen X und Y auf einem W-Raum. Nun sind X und Y identisch verteilt und unkorelliert. Nun soll man zeigen, dass so auch X-Y und X+Y unkorelliert sind. Wie mache ich das? Meine Ideen: - |
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23.05.2022, 10:59 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y Zeige mittels der Definition der Kovarianz, dass |
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23.05.2022, 11:05 | Taschenrechner548 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y Das habe ich gemacht. Falls ich richtig gerechnet habe, steht bei mir im letzten Schritt: Cov(X-Y,X+Y)=...= E(X^2)-E(Y^2)-E(X)^2-E(Y)^2 Wie kann ich da jetzt darauf schließen, dass da 0 rauskommt? Weil X und Y identisch verteilt sind? Wenn ja, wie lautet da meine Begründung? Viele Grüße |
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23.05.2022, 11:06 | Taschenrechner548 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y Cov(X-Y,X+Y)=...= E(X^2)-E(Y^2)-E(X)^2+E(Y)^2 so..das letzte Minus müsste ein Plus sein |
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23.05.2022, 11:10 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y Stimmt so nicht. Rechne das mal schrittweise vor. Oder habe ich deine Schlussbemerkung falsch verstanden. Wenn man das letzt Minus in Plus verwandelt, kommt ja nicht 0 heraus. |
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23.05.2022, 11:33 | Taschenrechner548 | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y ich kann es ja mal schrittweise vorrechnen, so wie ich's gemacht habe: Cov(X-Y , X+Y) =E((X-Y)(X+Y))-E(X-Y)E(X+Y) =E(X^2 - Y^2) - ((E(X)-E(Y)((E(X)+E(Y)) =E(X^2)-E(Y^2) - (E(X)^2 - E(Y)^2) =E(X^2)-E(Y^2) - E(X)^2 + E(Y)^2 und wenn man jetzt berücksichtigt, dass X und Y identisch verteilt sind, dann müssten ja auch X^2 und Y^2 identisch verteilt sein. Also müssten die ersten beiden Summanden ja 0 sein oder? Bei den letzten beiden Summanden bin ich mir aber nicht sicher, wie ob man da analog argumentieren könnte. Stimmt meine Rechnung überhaupt? |
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23.05.2022, 11:43 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y Die Rechnung stimmt. Also hatte ich deine obige Schlussbemerkung falsch verstanden. Wegen der gleichen Verteilung von und ist , also auch . Man hätte auch gar nicht ausmultplizieren müssen. Es ist ja . |
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23.05.2022, 11:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Statt über die Erwartungswerte zu gehen, könnte man auch die Bilinearität des Kovarianzoperators nutzen: D.h., genau genommen benötigt man von der identischen Verteilung nur die Varianzgleichheit, und die Unkorreliertheit von benötigt man gar nicht. |
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