X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y

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Taschenrechner548 Auf diesen Beitrag antworten »
X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y
Meine Frage:
Ich habe zwei Zufallsvariablen X und Y auf einem W-Raum.
Nun sind X und Y identisch verteilt und unkorelliert.
Nun soll man zeigen, dass so auch X-Y und X+Y unkorelliert sind.
Wie mache ich das?

Meine Ideen:
-
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y
Zeige mittels der Definition der Kovarianz, dass

Taschenrechner548 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y
Das habe ich gemacht.
Falls ich richtig gerechnet habe, steht bei mir im letzten Schritt:
Cov(X-Y,X+Y)=...= E(X^2)-E(Y^2)-E(X)^2-E(Y)^2

Wie kann ich da jetzt darauf schließen, dass da 0 rauskommt? Weil X und Y identisch verteilt sind? Wenn ja, wie lautet da meine Begründung?

Viele Grüße
Taschenrechner548 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y
Cov(X-Y,X+Y)=...= E(X^2)-E(Y^2)-E(X)^2+E(Y)^2

so..das letzte Minus müsste ein Plus sein
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y
Stimmt so nicht. Rechne das mal schrittweise vor.

Oder habe ich deine Schlussbemerkung falsch verstanden. Wenn man das letzt Minus in Plus verwandelt, kommt ja nicht 0 heraus.
Taschenrechner548 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y
ich kann es ja mal schrittweise vorrechnen, so wie ich's gemacht habe:

Cov(X-Y , X+Y)
=E((X-Y)(X+Y))-E(X-Y)E(X+Y)
=E(X^2 - Y^2) - ((E(X)-E(Y)((E(X)+E(Y))
=E(X^2)-E(Y^2) - (E(X)^2 - E(Y)^2)
=E(X^2)-E(Y^2) - E(X)^2 + E(Y)^2

und wenn man jetzt berücksichtigt, dass X und Y identisch verteilt sind, dann müssten ja auch X^2 und Y^2 identisch verteilt sein. Also müssten die ersten beiden Summanden ja 0 sein oder?
Bei den letzten beiden Summanden bin ich mir aber nicht sicher, wie ob man da analog argumentieren könnte.
Stimmt meine Rechnung überhaupt?
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: X,Y identisch verteilt und unkorreliert, so auch X-Y und X+Y
Die Rechnung stimmt. Also hatte ich deine obige Schlussbemerkung falsch verstanden.
Wegen der gleichen Verteilung von und ist , also auch .

Man hätte auch gar nicht ausmultplizieren müssen. Es ist ja .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Statt über die Erwartungswerte zu gehen, könnte man auch die Bilinearität des Kovarianzoperators nutzen:



D.h., genau genommen benötigt man von der identischen Verteilung nur die Varianzgleichheit, und die Unkorreliertheit von benötigt man gar nicht. Augenzwinkern
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