Konvergenz in L2

23.05.2022, 10:09	GeneralIroh	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz in L2 Meine Frage: Hi, ich habe die folgende Aufgabe: Die Fouriertheorie besagt, dass man jede Funktion $\begin{eqnarray} u \in C \lbrack 0, 2\pi\rbrack \end{eqnarray}$ durch Funktionen $\begin{eqnarray} \{u_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset Span (\{\cos(nx),\sin(nx)\}_{n=0}^{\infty}) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \lVert\cdot\rVert_2 \end{eqnarray}$ -Norm approximieren kann. Gilt für eine solche Folge auch Konvergenz in $\begin{eqnarray} \lVert\cdot\rVert_{\infty} \end{eqnarray}$ -Norm zu $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: In der Vorlesung hatten wir, dass man jede stetige Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=f(2\pi) \end{eqnarray}$ in der $\begin{eqnarray} \lVert\cdot\rVert_{\infty} \end{eqnarray}$ -Norm approximieren kann, deshalb denke ich, dass das so nicht möglich ist, allerdings finde ich keine Begründung, warum das nicht gelten sollte. Hat jemand Ideen? Danke für eure Hilfe.
23.05.2022, 10:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz in L2 Dann nimm mal $\begin{eqnarray} f(x) = x \end{eqnarray}$ und überleg dir, warum $\begin{eqnarray} f(0) \neq f(2 \pi) \end{eqnarray}$ fatal wird, wenn man es mit Funktionen $\begin{eqnarray} \sin, \cos \end{eqnarray}$ approximieren will, die bei $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ aber immer den gleichen Wert annehmen.

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