Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit

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Taschenrechner548 Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
Meine Frage:
X und Y sind zwei Zufallsvariablen auf einem W-Raum.
Sind X und Y identisch verteilt und stochastisch unabhängig, so folgt im Allgemeinen nicht, dass X+Y und X-Y stochastisch unabhängig sind.
Hierzu muss ich ein Gegenbeispiel finden.
Kann mir da jemand helfen, wie ich da am besten rangehe um auf eine Lösung zu kommen?

Meine Ideen:
-
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
Betrachte mal für und die Gleichverteilung auf . Jetzt berechne



und

Taschenrechner548 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
Aber die beiden sind dann stochastisch unabhängig oder?

Ich glaub ich hab mich falsch ausgedrückt.. Ich muss ein Beispiel finden, wo X und Y unabhängig sind und dann X+Y und X-Y eben nicht. Tut mir leid für die Verwirrung
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
Was hast du denn für die beiden von mir gefragten Wahrscheinlichkeiten heraus?
Taschenrechner548 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
hmmm.. bin mir dann nicht ganz sicher, wie ich das berechnen soll.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
Jetzt siehst du mich arg verwundert!

Fangen wir mit



an. ist die Menge aller Wertepaare , deren Summe ergibt, wobei und aus sind, also jeweils nur die Werte und annehmen können. Die Wahrscheinlichkeit jedes Wertepaares kannst du berechnen, weil und als unabhängig angenommen werden sollen. Damit bekommst dann die Wahrscheinlichkeit für diese Ereignismenge. Analog ist es für .

Und



ist die Schnittmenge dieser beiden Ereignismengen, also die Menge der Wertepaare für die sowohl als auch gilt.
 
 
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt



Genauer: Mit der Definition ist eine Zufallsgröße. Man berechnet nun im üblichen Sinn das Urbild



wobei



Edit: Huch, da hab ich einen Notationskonflikt produziert. Huggys ist das Es gilt



Aufgrund der Unabhängigkeit gilt außerdem die Gleichung



gilt.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Möchte man umständlich rechnen, findet sich bspw. die folgende Konkretisierung.

Sei und

Sei die Gleichverteilung auf , also für

Seien mit den Werten



Taschenrechner548 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
Für P({X+Y}) sind ja die Wertepaare (-1,1) und (1,-1) oder?
Aber wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten davon? 0,5 * 0,5? weil ja entweder -1 oder 1 jeweils eine Wahrscheinlichkeit von 0,5 haben?
Taschenrechner548 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
Die Schnittmenge der beiden müsste ja dann eigentlich die leere Menge sein, also die Wahrscheinlichkeit davon 0 betragen oder?

noch eine etwas blödere Frage: Darf man die diskrete Gleichverteilung auf jede beliebige Menge definieren? Im Internet finde ich nämlich nur Definitionen auf {1,...,n} ohne quasi negative Zahlen...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
Zitat:
Original von Taschenrechner548
Die Schnittmenge der beiden müsste ja dann eigentlich die leere Menge sein, also die Wahrscheinlichkeit davon 0 betragen oder?

Richtig. Was folgt daraus bezüglich der Aufgabenstellung?

Zitat:
noch eine etwas blödere Frage: Darf man die diskrete Gleichverteilung auf jede beliebige Menge definieren? Im Internet finde ich nämlich nur Definitionen auf {1,...,n} ohne quasi negative Zahlen...

Man darf.

Die blödesten Fragen sind bekanntlich die, die man nicht stellt.
Taschenrechner548 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
Wenn der Schnitt der beiden Wahrscheinlichkeiten ungleich des Produkts der beiden Wahrscheinlichkeiten sind, dann sind X+Y und X-Y nicht stochastisch unabhängig.
Aber ich weiß leider immer noch nicht wie ich die Wahrscheinlichkeit von X+Y mit den beiden Wertepaaren berechne...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenbeispiel finden zur stochastischen Unabhängigkeit
ergibt sich nur für die Wertepaare und . Es ist wegen der angesetzten Gleichverteilung. Dasselbe gilt für alle anderen Einzelwahrscheinlichkeiten. Es ist dann wegen der Unabhängigkeit von und



Das gleiche ergibt sich für . Damit hat man

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