Winkelhalbierende und Peripheriewinkel

24.05.2022, 12:51

Malcang

Winkelhalbierende und Peripheriewinkel

Hallo Leute,

ich hänge gerade an folgender Aufgabe:
[attach]55163[/attach]

Ich komme gar nicht weiter.
Zur a) habe ich mir diese Skizze gemacht:[attach]55164[/attach]
Dabei war das Dreieck ABC also mein Ausgangsdreieck, D ist der Schnittpunkt der WH durch den Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ bei C.
Nun weiß ich sonst aber nur, dass für den Winkel $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ bei D gilt: $\begin{eqnarray*} \delta = 180°-\gamma \end{eqnarray*}$ .

Aber mehr sehe ich leider nicht verwirrt

24.05.2022, 13:43

Gualtiero

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Zu a)
Ist Dir die Ergänzung Deiner Skizze klar?
Nutze dann, dass rot und grün markierte Winkel gleich groß sind $\begin{eqnarray*} \left( \frac{\gamma}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .

[attach]55165[/attach]

24.05.2022, 14:10

Malcang

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Hallo Gualtiero,

leider ist mir nicht klar, woher das kommt unglücklich

Die Konsequenz ist mir natürlich bewusst. Die Winkel EAD und EBD sind dann gleich groß, also muss das Dreieck ABD gleichschenklig sein.

Edit: Ah, doch, dass sind Peripheriewinkel.
Ich schreibe das gerade nochmal sauber auf.

Edit2: Ja, hat geklappt. Super, vielen Dank dafür! smile

Ich mache mir jetzt noch Gedanken zur b) und würde mich gerne hier wieder zurückmelden.

24.05.2022, 15:25

Malcang

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Bei b) weiß ich leider auch nicht weiter.

[attach]55167[/attach]

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sind als Peripheriewinkel gleich groß. Aber was noch? verwirrt

24.05.2022, 16:42

Gualtiero

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Genau. Ich würde aber den neuen Winkel auch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nennen. Ist übersichtlicher.

Finde weitere Dreiecke und bestimme die Winkel mithilfe des Peripheriewinkelsatzes.

Z.B. $\begin{eqnarray*} <ADB = <ACB = \gamma; \quad <BAD = \alpha + \frac{\beta + \gamma}{2}; \quad <DCA = <DBA \end{eqnarray*}$

So kannst Du letztendlich $\begin{eqnarray*} <CBD=\frac{\beta + \gamma}{2} \end{eqnarray*}$ zeigen, woraus folgt, dass Dreieck BDC gleichschenklig ist.

24.05.2022, 17:24

Malcang

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Zitat:

Original von Gualtiero
$\begin{eqnarray*} <BAD = \alpha + \frac{\beta + \gamma}{2};. \end{eqnarray*}$

Woher kommt das? verwirrt

24.05.2022, 17:49

Gualtiero

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Der Außenwinkel ist hier doch die Ergänzung von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf 180°, und das ist $\begin{eqnarray*} \beta + \gamma \end{eqnarray*}$ .

Die Außenwinkelhalbierende halbiert (no na) diesen Winkel. Schau auf Deine Skizze.

24.05.2022, 17:59

Malcang

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Zitat:

Original von Gualtiero
Der Außenwinkel ist hier doch die Ergänzung von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf 180°, und das ist $\begin{eqnarray*} \beta + \gamma \end{eqnarray*}$ .

Aber betrachte ich denn nicht die Ergänzung zu $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ ?

24.05.2022, 18:27

Gualtiero

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Nein.

Schau mal in Deinen Studienunterlagen oder auch bei wikipedia nach.

Zitat:

Der Außenwinkelsatz (englisch Exterior Angle Theorem) ist ein Lehrsatz der Geometrie, der besagt, dass jeder Außenwinkel eines Dreiecks so groß ist wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen.

24.05.2022, 19:02

Malcang

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Ok, GeoGebra sagt mir auch, dass es stimmt, von daher hapert es nur an meinem Verständnis. Ich schaue mir das nochmal genauer an. Danke sehr für die Hilfe bisher smile

24.05.2022, 19:58

Malcang

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Zitat:

Original von Gualtiero
So kannst Du letztendlich $\begin{eqnarray*} <CBD=\frac{\beta + \gamma}{2} \end{eqnarray*}$ zeigen, woraus folgt, dass Dreieck BDC gleichschenklig ist.

Nur diesen Schritt verstehe ich noch nicht,
Also es ist $\begin{eqnarray*} <BDC=\alpha \end{eqnarray*}$ , aber wie komme ich nun auf die anderen beiden?

24.05.2022, 22:17

Gualtiero

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Betrachte die Winkel in Dreieck ABD. Die in den Punkten A und D habe ich oben schon erwähnt. Damit kannst Du leicht den dritten in Punkt B berechnen.
Jetzt sagt ein Blick auf Deine Zeichnung mit dem gleichschenkligen Dreieck BDC, dass der Winkel in B gleich dem

Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ vermindert um den vorhin berechneten Winkel

ist.

Hilft Dir das?

24.05.2022, 22:46

Malcang

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Zitat:

Original von Gualtiero
Hilft Dir das?

Davon gehe ich aus, muss es aber morgen nochmal in Ruhe aufschreiben. Vielen Dank bisher und gute Nacht smile

24.05.2022, 22:54

Gualtiero

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OK, dann bis morgen.

PS.: Bei diesen Winkelbetrachtungen ist immer wieder der Winkelsummensatz nötig.

25.05.2022, 05:58

Leopold

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Warum passt du deine Bezeichnungen nicht denen der Aufgabe an? Das ist sehr verwirrend. Ich finde es zwar auch merkwürdig, in der Elementargeometrie Punkte mit Kleinbuchstaben zu bezeichnen, aber so ist es nun mal vorgegeben.

1. Die Winkelhalbierenden an einer Geradenkreuzung stehen immer senkrecht aufeinander. Im Dreieck $\begin{align*} pqa \end{align*}$ ist daher bei $\begin{align*} a \end{align*}$ ein rechter Winkel. Damit ist die Sehne $\begin{align*} pq \end{align*}$ ein Durchmesser.

2. Nach a) sind $\begin{align*} bp \end{align*}$ und $\begin{align*} cp \end{align*}$ gleich lang. Die Umfangswinkel dieser Sehnen sind daher gleich groß, womit der Durchmesser $\begin{align*} pq \end{align*}$ im Dreieck $\begin{align*} bcq \end{align*}$ den Winkel bei $\begin{align*} q \end{align*}$ halbiert.

Ein Symmetrieargument vollendet den Beweis.

[attach]55170[/attach]

29.05.2022, 20:30

Malcang

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Ihr Lieben, entschuldigt bitte, ich hatte wegen Stress diesen Thread aus den Augen verloren. Ich konnte das aber mit eurer Hilfe zwischenzeitlich lösen und danke euch sehr dafür smile

@Leopold:
Das sind Aufgaben der Uni, die Threads wurden aber bisher hier nach Geometrie verschoben. Die Eckpunkte sind bei uns Ortsvektoren (was in der Schule vielleicht auch manches mal so ist, aber das weiß ich nicht).

29.06.2022, 15:20

Malcang

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Zur Klausurvorbereitung habe ich mir dein Argument nochmal angeschaut, Leopold. Ich kann das auch alles nachvollziehen, aner

Zitat:

Original von Leopold
Ein Symmetrieargument vollendet den Beweis.

dieses habe ich leider immernoch nicht entdeckt verwirrt

Ich weiß, die beiden Dreiecke $\begin{eqnarray*} PCQ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} PQB \end{eqnarray*}$ teilen sich als Seite den Durchmesser. Die von dir grün markierten WInkel sind ebenfalls gleichgroß, wie auch die Seiten $\begin{eqnarray*} PB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} PC \end{eqnarray*}$ . Aber damit kann ich doch nicht auf Kongruenz schließen, da der Winkel den ich kenne ja nicht der längsten Seite gegenüberliegt.

29.06.2022, 19:09

Leopold

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Jede Zentrale (Gerade durch den Kreismittelpunkt) ist eine Symmetrieachse des Kreises. Hier ist das die Zentrale $\begin{align*} pq \end{align*}$ . Die Strecken $\begin{align*} bq \end{align*}$ und $\begin{align*} cq \end{align*}$ sind bezüglich $\begin{align*} pq \end{align*}$ symmetrisch zueinander, da sie mit $\begin{align*} pq \end{align*}$ bei $\begin{align*} q \end{align*}$ denselben Winkel einschließen und in Kreispunkten enden. Insbesondere sind $\begin{align*} bq \end{align*}$ und $\begin{align*} cq \end{align*}$ gleich lang.

03.07.2022, 16:37

Malcang

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Zitat:

Original von Leopold
Jede Zentrale (Gerade durch den Kreismittelpunkt) ist eine Symmetrieachse des Kreises. Hier ist das die Zentrale $\begin{align*} pq \end{align*}$ . Die Strecken $\begin{align*} bq \end{align*}$ und $\begin{align*} cq \end{align*}$ sind bezüglich $\begin{align*} pq \end{align*}$ symmetrisch zueinander, da sie mit $\begin{align*} pq \end{align*}$ bei $\begin{align*} q \end{align*}$ denselben Winkel einschließen und in Kreispunkten enden. Insbesondere sind $\begin{align*} bq \end{align*}$ und $\begin{align*} cq \end{align*}$ gleich lang.

Lieber Leopold, vielen Dank dafür! Das sitzt nun Augenzwinkern

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