Doppelsumme

24.05.2022, 14:35

Maxi2323

Doppelsumme

Meine Frage:
Hallo, mir geht es um diese Doppelsumme im dargestellten Bild.
Die Formel ist in dem Bild. Ich frage mich nur, wie man von dieser Doppelsumme zu dem einfachen M kommt.

Meine Ideen:
Ich hätte gedacht, aus der Doppelsumme wird 2M und nicht M. In anderen Aufgaben mit einfacher Summe kommt doch dann der maximale Zählindex davor, also hier M. WIeso ändert die Doppelsumme nichts? Kann mir das einer erklären?
Vielen Dank.

25.05.2022, 19:37

klauss

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RE: Doppelsumme
Da bisher niemand geantwortet, habe ich mir darüber Gedanken gemacht.
Spontan wundert mich, dass beide Summen denselben Laufindex $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ haben.
Stünde da
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{M} \sum\limits_{j=1}^{M}E\left(n_{i}(p)n_{j}(p) \right) \end{eqnarray*}$
dann könnte das gemäß der oberen Gleichung gleich $\begin{eqnarray*} M\sigma_{n}^{2} \end{eqnarray*}$ sein mit der Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{M} \sum\limits_{j=1}^{M}E\left(n_{i}(p)n_{j}(p) \right)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$
da es dann für jeden Wert $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ der äußeren Summe genau einen Wert $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ der inneren Summe gäbe mit $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ , also genau $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ Summanden.
Die Nebenbedingung ist aber nicht sichtbar.

Das sind aber derzeit nur Spekulationen, da mir diese recht spezielle Darstellung nicht näher geläufig ist.
Bin gespannt, ob jetzt jemand einsteigt, der es genau aufklären kann.

26.05.2022, 09:45

Maxi2323

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RE: Doppelsumme
Danke für die Antwort.
Ja ich glaube du lagst genau richtig. Ich habe hier die Quelle reingestellt. Für i ungleich j wird die Multiplikation 0. Damit bleiben nur die Werte für i = j. Offenbar wird der Erwartungswert 0, wenn man unkorrelierte Werte hat - ich wusste das nicht, es steht aber dort. Für i = j ergibt sich aus der Multiplikation der Erwartungswerte Sigma_n^2.

Leider kann ich den Link gerade nicht reinstellen ("HTML ist nicht erlaubt").

26.05.2022, 09:52

Maxi2323

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RE: Doppelsumme
als Bild

26.05.2022, 12:53

klauss

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RE: Doppelsumme
Danke für die Ergänzung. Dann müßte es geklärt sein.
Die Schreibweise mit zwei identischen Laufindizes finde ich trotzdem etwas befremdlich.
(Was ist $\begin{eqnarray*} n_{j}(p)n_{j}(p) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j=1\wedge j=2 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

)

27.05.2022, 08:55

Maxi2323

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RE: Doppelsumme
Ja.
Also gilt bei unkorrelierten Größen: wenn man die Erwartungswerte multipliziert, erhält man 0.
Daraus kann man schlussfolgern, dass ein Erwartungswert 0 ist.

Aber das Quadrat der Zufallsgröße selber ergibt nicht 0 sondern sigma_n^2.
Das klingt erst mal etwas widersprüchlich, man würde erwarten, dass auch das Quadrat dann 0 ergibt. Man kann ja hier keine Links rein stellen, aber falls zu dazu was hast und ich mich weiter belesen kann dazu, kannst du es gerne hier irgendwie rein stellen. Oder den Link per Nachricht schicken, falls das hier geht.
Vielen Dank.

27.05.2022, 10:04

Maxi2323

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RE: Doppelsumme
Also für die Unkorreliertheit gilt Cov(X,Y) = 0 und Korrelationskoeffizient = 0 aber nirgends kann ich finden E(X)E(Y)=0. Komisch.

27.05.2022, 22:19

klauss

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RE: Doppelsumme
Ich habe zwar nochmal nachgeschlagen, kann aber leider nicht zu einer weiteren Aufklärung beitragen. Der Auszug stammt offenbar aus einem längeren Artikel, zu dem man eingangs die Definition jener ominösen Zufallsvariablen und die Legende studieren müßte. Das liegt eher außerhalb meines täglichen Bedarfs.

28.05.2022, 08:30

IfindU

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RE: Doppelsumme
Ich schließe mich klauss an. Man verwendet zweimal den gleichen Buchstaben und meint damit verschiedene Objekte. Das ist bestenfalls schlechter Stil und ohne Kontext unverständlich.

Warum $\begin{eqnarray*} E(X)E(Y) =0 \end{eqnarray*}$ gilt, ist weil $\begin{eqnarray*} E(X) = E(Y) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dort steht im vorletzten Satz, dass die Zufallsvariablen so definiert sind.

Zitat:

Also gilt bei unkorrelierten Größen: wenn man die Erwartungswerte multipliziert, erhält man 0.
Daraus kann man schlussfolgern, dass ein Erwartungswert 0 ist.

Aber das Quadrat der Zufallsgröße selber ergibt nicht 0 sondern sigma_n^2.

Siehe oben. Der Erwartungswert ist nicht 0, weil die unkorreliert sind. Und eine Zufallsvariable ist nicht unkorreliert zu sich selbst. Zwar gilt hier $\begin{eqnarray*} E(X) E(X) = 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} E(X\cdot X) \neq E(X)E(X) \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen.

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