Diedergruppe DN auflösbar

24.05.2022, 15:27	Lena2324786	Auf diesen Beitrag antworten »
Diedergruppe DN auflösbar Meine Frage: Zeige das die Diedergruppe Dn für alle n >= 3 auflösbar ist Meine Ideen: Die Diedergruppe ist doch nicht abelsch wie kann diese dann auflösbar sein. Und wie lautet der korrekter Beweis dazu. Hab das komplette Verständnis dazu nicht deshalb wäre ich über eine sehr ausführliche Antwort froh
24.05.2022, 18:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine auflösbare Gruppe hat eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren. Abelsche Gruppen sind trivialerweise auflösbar, weil alle Untergruppen und Faktorgruppen abelsch sind. Es wäre aber sehr traurig, wenn es nur diese trivial auflösbare Gruppen gäbe. Bedenke, dass eine Diedergruppe das Produkt einer C2 und einer Cn ist, dann kommst du sicher weiter.
25.05.2022, 20:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Diedergruppe $\begin{align} D_n \end{align}$ ist die Symmetriegruppe des regelmäßigen $\begin{align} n \end{align}$ -Ecks, $\begin{align} n \geq 3 \end{align}$ . Sie wird von zwei Elementen erzeugt, einer Spiegelung $\begin{align} \sigma \end{align}$ an einer fest gewählten Symmetrieachse des $\begin{align} n \end{align}$ -Ecks und einer Drehung $\begin{align} \tau \end{align}$ um den Mittelpunkt des $\begin{align} n \end{align}$ -Ecks mit dem Drehwinkel $\begin{align} \frac{2 \pi}{n} \end{align}$ . Somit ist $\begin{align} \sigma \end{align}$ von der Ordnung 2 und $\begin{align} \tau \end{align}$ von der Ordnung $\begin{align} n \end{align}$ . Es gelten die Relationen (mit $\begin{align} \varepsilon \end{align}$ sei die Identität bezeichnet): $\begin{align} \text{()} \ \ \sigma^2 = \varepsilon \, , \ \ \tau^n = \varepsilon \, , \ \ \sigma \tau = \tau^{-1} \sigma \end{align}$ Die erste Relation besagt, daß die Achsenspiegelung sich selbst umkehrt, die zweite, daß man nach $\begin{align} n \end{align}$ Drehungen wieder am Anfang ist, und die letzte, daß Drehen und anschließendes Spiegeln durch ein Spiegeln und anschließendes Drehen in der Gegenrichtung ersetzt werden können (wie in der Analysis lese ich das Produkt, also die Verkettung der Abbildungen von rechts nach links). Mach dir diese Relationen an einem regelmäßigen $\begin{align} n \end{align}$ -Eck klar. So kann man sich die Diedergruppe $\begin{align} D_n \end{align}$ vorstellen. Formal genügen die Relationen $\begin{align} \text{()} \end{align}$ , die das Rechnen in $\begin{align} D_n \end{align}$ vollständig bestimmen. Aus der letzten Relation erhält man induktiv $\begin{align} \text{(#)} \ \ \sigma \tau^k = \tau^{-k} \sigma \end{align}$ für alle $\begin{align} k \in \mathbb{Z} \end{align}$ Die Diedergruppe ist das Produkt der von $\begin{align} \sigma \end{align}$ und $\begin{align} \tau \end{align}$ erzeugten zyklischen Gruppen $\begin{align} S = \langle \sigma \rangle \end{align}$ (von Elvis $\begin{align} C_2 \end{align}$ genannt) und $\begin{align} T = \langle \tau \rangle \end{align}$ (von Elvis $\begin{align} C_n \end{align}$ genannt): $\begin{align} D_n = ST \end{align}$ Die Gurppe ist nicht kommutativ, aber haarscharf daran vorbei, die Relation $\begin{align} \text{(#)} \end{align}$ ist eine Art Ersatz für das Kommutativgesetz. $\begin{align} S \end{align}$ ist kein Normalteiler, denn $\begin{align} \tau S = \left\{ \tau, \tau \sigma \right\} \neq \left\{ \tau, \sigma \tau \right\} = S \tau \end{align}$ , aber $\begin{align} T \end{align}$ ist es. Weise das nach (sofern nicht schon aus der Vorlesung bekannt). Dann liegt die Normalreihe mit abelschen Faktoren auf der Hand.

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