Was bedeutet C^2?

24.05.2022, 19:10

kleinesüßespitzmaus

Was bedeutet C^2?

Meine Frage:
Was bedeutet folgendes: $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ und wie kann ich mir Vektoren aus dem Span davon vorstellen? bzw. deren Notation?

Meine Ideen:
gute Frage, nächste Frage

24.05.2022, 19:16

Malcang

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Dies sind Elemente mit zwei Einträgen. Jeder Eintrag ist eine komplexe Zahl. Ob das ein Vektorraum ist, müsste anhand der Axioma nachgerechnet werden (es sei denn, das ist schon bekannt).
Mathematisch sieht das so aus: $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 :=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} | x,y\in\mathbb C \right\} \end{eqnarray*}$

Nun könnte man natürlich noch $\begin{eqnarray*} x = x_1 + i\cdot y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = x_2 + i\cdot y_2 \end{eqnarray*}$ schreiben. Woher nimmt man dann $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ ?

24.05.2022, 20:10

kleineriesenratte

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Zitat:

Original von Malcang
Dies sind Elemente mit zwei Einträgen. Jeder Eintrag ist eine komplexe Zahl. Ob das ein Vektorraum ist, müsste anhand der Axioma nachgerechnet werden (es sei denn, das ist schon bekannt).
Mathematisch sieht das so aus: $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 :=\left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} | x,y\in\mathbb C \right\} \end{eqnarray*}$

Nun könnte man natürlich noch $\begin{eqnarray*} x = x_1 + i\cdot y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = x_2 + i\cdot y_2 \end{eqnarray*}$ schreiben. Woher nimmt man dann $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ ?

aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

24.05.2022, 20:20

Malcang

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Zitat:

Original von kleineriesenratte
..
aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Genau

24.05.2022, 20:23

kleinerflipperimmeer

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Zitat:

Original von kleineriesenratte

Zitat:

aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

für welche a $\begin{eqnarray*} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt Span(M) = $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ mit M = {(a,i)^T,(i,a)^T}? wenn ich a = b+ic setze und das (x,y)^T von oben von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ setze ich auf x = g+ih und y = e+if, wie zeige ich dann, dass ich mit $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}*(a,i)^T + \lambda_{2}*(i,a)^T ? \end{eqnarray*}$

24.05.2022, 21:07

Malcang

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Die Frage ist sehr undeutlich gestellt.
Es ist also $\begin{eqnarray*} M := \left\{ \begin{pmatrix} a \\ i\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} i \\ a\end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} span(M) =\left\{ \lambda_1\cdot \begin{pmatrix} a \\ i\end{pmatrix} + \lambda_2\cdot\begin{pmatrix} i \\ a\end{pmatrix}, \lambda_1, \lambda_2\in\mathbb C \right\} \end{eqnarray*}$ .
Nun kannst du $\begin{eqnarray*} a = b+ci \end{eqnarray*}$ setzen und rechne aus.

Muss mich wahrscheinlich für heute ausklinken. Gerne darf jemand übernehmen, sonst melde ich mich morgen.

25.05.2022, 09:13

IfindU

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Zitat:

Original von Malcang
Dann ist $\begin{eqnarray*} span(M) =\left\{ \lambda_1\cdot \begin{pmatrix} a \\ i\end{pmatrix} + \lambda_2\cdot\begin{pmatrix} i \\ a\end{pmatrix}, \lambda_1, \lambda_2\in\mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ .

Ich vermute in dem Fall $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ . Zwar kann $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ sowohl Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ auffassen, aber im ersten Fall ist die Dimension 4 und nur im letzteren 2. D.h. wenn man nicht hören möchte "Für kein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kann es eine Basis sein", tippe ich auf komplexe $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

25.05.2022, 10:09

mYthos

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An den Thread-Ersteller:
Bitte NICHT bei jedem Post den Namen ändern, das ist unhöflich und nicht erwünscht.

mY+

25.05.2022, 11:13

Malcang

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Zitat:

Original von IfindU
Ich vermute in dem Fall $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

Mein Fehler. Danke, IfindU, ich werde das im Post korrigieren.

25.05.2022, 19:19

kleinespitzmaus

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Zitat:

Original von Malcang
Die Frage ist sehr undeutlich gestellt.
Es ist also $\begin{eqnarray*} M := \left\{ \begin{pmatrix} a \\ i\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} i \\ a\end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} span(M) =\left\{ \lambda_1\cdot \begin{pmatrix} a \\ i\end{pmatrix} + \lambda_2\cdot\begin{pmatrix} i \\ a\end{pmatrix}, \lambda_1, \lambda_2\in\mathbb C \right\} \end{eqnarray*}$ .
Nun kannst du $\begin{eqnarray*} a = b+ci \end{eqnarray*}$ setzen und rechne aus.

Muss mich wahrscheinlich für heute ausklinken. Gerne darf jemand übernehmen, sonst melde ich mich morgen.

Vielen Dank für die Hilfe. Wie komme ich mit dem einsetzen dann auf ein Ergebnis?

25.05.2022, 21:40

kleinespitzmaus

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Zitat:

Original von mYthos
An den Thread-Ersteller:
Bitte NICHT bei jedem Post den Namen ändern, das ist unhöflich und nicht erwünscht.

mY+

Leider war das mein 1. Post und ich total überfordert mit dem ganzen Benutzername etc. ohne Anmeldung.
Der Span spannt nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ auf oder ?

26.05.2022, 17:59

mYthos

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Doch, $\begin{eqnarray*} {\mathbb C}^2 \end{eqnarray*}$ sollte schon stimmen, es wird ja von den 2 komplexen Basisvektoren aufgebaut.
Es geht jetzt um die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \text{ und } \lambda_2 \end{eqnarray*}$ , das war ja deine Frage.
$\begin{eqnarray*} \vec X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb C, \ a = b + ci \ \text{ ist } \vec X = \lambda_1 \begin{pmatrix} a \\ i \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} i \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus resultiert das System in den Variablen $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 a + \lambda_2 i = x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 i + \lambda_2 a = x_2 \end{eqnarray*}$
---------------------
$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Rechne weiter ...

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \frac{ax_1 - ix_2}{a^2+1} = \frac{bx_1 + i(cx_1 - x_2)}{b^2+c^2+1 + i \cdot 2bc} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

26.05.2022, 19:29

kleinespitzmaus

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Edit (mY+): Vollzitat entfernt.
Bitte anstatt den Zitat- den Antwortbutton klicken!

danke für die Antwort! wenn jetzt nach dem a gefragt wäre, für das die Gleichheit gilt, muss man dann was schreiben?

26.05.2022, 19:45

mYthos

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Welche Gleichheit meinst du? Dazu muss eine Gleichung angegeben sein.
Um das komplexe a zu berechnen, muss man somit nach b und c (Real- und Img-Teil) auflösen, wenn dabei $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ bekannt sind.

mY+

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