Graph als Untermannigfaltigkeit

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Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »
Graph als Untermannigfaltigkeit
Auf meinem aktuellen Übungsblatt soll ich beweisen, dass der Graph einer glatten Abbildung F:M->N zwischen glatten Mannigfaltigkeiten M, N eine Untermannigfaltigkeit von M x N ist und deren Dimension angeben. Da ich leider die Vorlesung nicht besuchen kann aus Zeitgründen (bin kein Student und mache das so halb für die Arbeit und halb aus Spaß) benötige ich zusätzliche Unterstützung.

Der Graph von F ist definiert als . Wikipedia entnehme ich, dass ich zeigen muss, dass für jedes eine Karte von M X N existiert mit , so dass die Gleichung



gilt. Karten von M x N sind von der Form mit Karte von M und analog für V und \phi_V.

Ich habe gerade etwas rumgerechnet und ein Kernproblem ist natürlich von eine Karte zu konstruieren, so dass tatsächlich Punkte enthält mit dem Wert 0 in den letzten n-k Komponenten. An sich könnte man ja für eine Karte y von N und Karte x von M für einen Punkt p von M eine neue Karte y' mit y'(F(p)) = 0 von N konstruieren mittels . Dann hat man aber erstmal nur eine Karte die in einem Punkt 0 ist (die tritt dann ja auch als Komponente einer Karte von M x N auf). Muss man dann weiter mit der Stetigkeit von y' nebst Offenheit der Kartenumgebungen argumentieren um eine Umgebung um 0 in R^n zu konstruieren?

Ich hoffe mein Problem wurde halbwegs klar, meine Gedanken sind noch nicht voll entwickelt zu dem Problem. Freue mich über jede Anregung.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

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Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die Schnelle sagen zu können, inwiefern das zu Fuß geht, bin ich nicht gut genug. Aufgrund meiner Vorbildung fällt mir aber die folgende bequeme Erwägung ein. Die Abbildung



betrachten. Gesetzt den Fall, die Ableitung ist an jeder Stelle injektiv, bezeichnet man als eine Immersion. Allgemein gilt, dass die Bildmenge einer Immersion eine Untermannigfaltigkeit ihrer Zielmenge ist.
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