Bijektionen von IR auf [-1,1]

25.05.2022, 11:06

Askrix

Bijektionen von IR auf [-1,1]

Meine Frage:
Hallo allesamt,

Ich suche nach einer bijektiven Abbildung, die Bildmenge einer beliebigen stetigen reellwertigen Funktion auf das abgeschlossene Intervall [-1,1] abbildet.

Vielen Dank im Voraus!

Meine Ideen:
Ich erinnere mich noch aus dem Mathematikstudium eine solche Abbildung genannt nach Carl Friedrich Gauß gesehen und genutzt zu haben. Nun komme ich nicht mehr darauf, wie die Formel heißt oder wie man eine andere solche Abbildung konstruieren kann.

25.05.2022, 11:51

IfindU

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RE: Bijektionen von IR auf [-1,1]
Du wirst keine stetige bijektive Funktion finden von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to [-1, 1] \end{eqnarray*}$ . Es gibt aber bijektive und glatte Funktion mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to (-1, 1) \end{eqnarray*}$ . Ein Beispiel ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 2 \pi \arctan(x) \end{eqnarray*}$ .

25.05.2022, 15:49

Leopold

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RE: Bijektionen von IR auf [-1,1]

Zitat:

Original von IfindU
Ein Beispiel ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 2 \pi \arctan(x) \end{eqnarray*}$ .

Oder $\begin{align*} f(x) = \frac{x}{1 + |x|} \end{align*}$ . Augenzwinkern

25.05.2022, 15:54

Finn_

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Sei $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R\to [-1,1] \end{eqnarray*}$ stetig und bijektiv. Weil die Werte $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ Bilder von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sind, müssen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b)=1 \end{eqnarray*}$ existieren. Zudem gilt $\begin{eqnarray*} [-1,1]\subseteq f([a,b]) \end{eqnarray*}$ laut dem Zwischenwertsatz. Infolge gilt

$\begin{eqnarray*} \mathbb R = f^{-1}([-1,1])\subseteq f^{-1}(f([a,b])) = (f^{-1}\circ f)([a,b]) = \operatorname{id}([a,b]) = [a,b]. \end{eqnarray*}$

Die Aussage $\begin{eqnarray*} \mathbb R\subseteq [a,b] \end{eqnarray*}$ ist aber absurd. Ergo muss mit der Prämisse irgendetwas nicht in Ordnung sein.

Anhang. Die Regeln

$\begin{eqnarray*} A\subseteq B\implies g(A)\subseteq g(B), \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (g\circ f)(A) = g(f(A)) \end{eqnarray*}$

sind allgemeingültig.

25.05.2022, 16:04

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Da der Name Gauß fiel, noch ein drittes Beispiel: $\begin{eqnarray*} \operatorname{erf(x)} = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau \end{eqnarray*}$ , siehe hier.

Viele Grüße
Steffen

25.05.2022, 17:42

Finn_

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Vom rechnerischen Standpunkt aus erscheint mir tanh sehr gutmütig. Es lässt sich

$\begin{eqnarray*} y = \tanh(x) = \frac{2}{1+e^{-2x}}-1 \end{eqnarray*}$

ohne Fallunterscheidungen zu

$\begin{eqnarray*} x = \operatorname{artanh}(y) = -\frac{1}{2}\ln\bigg(\frac{2}{y+1}-1\bigg) \end{eqnarray*}$

umformen. Zudem ist die Ableitung $\begin{eqnarray*} \tanh'(x) = 1-\tanh(x) \end{eqnarray*}$ ein recht kurzer Term, bzw. es ergibt sich das kurze Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} y'=1-y^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0)=0. \end{eqnarray*}$ Die ästhetische Forderung $\begin{eqnarray*} y'(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist mithin erfüllt. Darüber hinaus ist tanh einer glatter Diffeomorphismus.

25.05.2022, 17:59

IfindU

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Sei $\begin{eqnarray*} f \in L^1(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ positiv. Dann ist $\begin{eqnarray*} h(x) = \frac 2 { \| f\|_{L^1}} \int_{-\infty}^x f(y) \mathrm {d} y -1 \end{eqnarray*}$ eine passende Funktion.

Ich denke damit haben wir jetzt genug Beispiele Big Laugh

25.05.2022, 18:02

Leopold

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Da will ich nicht nachstehen: de gustibus non est disputandum.

$\begin{align*} y = \frac{x}{1 + |x|} \ \ \Leftrightarrow \ \ x = \frac{y}{1-|y|} \quad \ ( \, x \in \left( - \infty, \infty \right) , \ y \in \left( -1,1 \right) \, ) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{\dd y}{\dd x} = \frac{1}{ \left( 1 + |x| \right)^2} \, , \ \ \frac{\dd x}{\dd y} = \frac{1}{\left( 1 - |y| \right)^2} \end{align*}$

Mit höheren Ableitungen ist dann aber bei $\begin{align*} x=0, \, y=0 \end{align*}$ Schluß.

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