Eigenvektoren orthogonaler Matrizen

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Schwucki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Meine Frage:
Folgende Aufgabe:

a) Zeigen Sie formal, dass die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix
, dh , den Betrag 1 haben. Betrachten Sie dazzu das Produkt für einen Eigenvektor um zu zeigen. (benutzen Sie und begründen Sie diese GLeichung.


Meine Ideen:
Wir hatten schonmal eine ähnliche Aufgabe, bei der formal gezeigt werden sollte, dass die Eigenwerte einer symmetrischen n x n Matrix reell sind. Dabei wurde das Produkt
betrachtet. Lösung war:

Aufgrund der Symmetrie von A:


Wäre sehr dankbar über jeden Hinweis. Diese "formalen" GLeichungen verwirren mich nur , lg!

Okay, Hier meine Idee bisher:



Es gilt , da eine orthogonale Matrix laut Definition stets eine reelle Matrix ist:



Damit sind und identisch, weswegen
und gilt.

Soweit so gut? ^^


Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
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RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Schau dir deine Idee nochmal genau an und bedenke, dass für beliebige Matrizen gilt.
Schwucki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Okay.
Also

immer genau dann, wenn ?
Daraus und aus meiner Idee mit folgt der geforderte Beweis?
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RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Du hast richtig angefangen und dich dann gehörig verlaufen. Richtig wäre

Das gilt für jeden beliebigen Vektor , man hat also noch überhaupt nicht benutzt, dass Eigenvektoren im Spiel sind.
Deswegen betrachtet man die linke Seite nochmal für einen Eigenvektor, also
Schwucki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
also nochmal von vorne

Zunächst gilt
aufgrund der Definition für orthogonale Matrizen, richtig?

Dann:
Ja?

Mit dem Eigenvektor:


Hier sieht man nun :
So?
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RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Zitat:
Original von Schwucki
Zunächst gilt
aufgrund der Definition für orthogonale Matrizen, richtig?

Das gilt für jede reelle Matrix , es hat nichts mit der Orthogonalität zu tun.

Zitat:

Jaein. Ich war in meiner Ausführung selbst zu schludrig und habe nicht nur als reell angenommen sondern auch den Vektor . Das kann man nicht tun und muss genauer schreiben


Der Rest stimmt dann, wenn man noch kurz erwähnt, warum ist
 
 
Schwucki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Zitat:
Das gilt für jede reelle Matrix O, es hat nichts mit der Orthogonalität zu tun.


Okay, Dann andersrum:
Da orthogonale Matrizen stets reell sind, gilt

Warum ist ? Dürfen die Vektoren nicht orthogonal sein, weil sonst das Eigenwertproblem nicht angewendet werden kann?
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RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Welche Vektoren sind denn zu sich selbst orthogonal?
Schwucki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Ach natürlich ! Hammer Das kann ja gar nicht möglich sein

Ich danke dir URL !
Schwucki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Ich danke dir wirklich ! jetzt verstehe ich endlich diese formalen Ansätze aus den Übungen ebenso !
Danke !!! smile
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RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Zitat:
Das kann ja gar nicht möglich sein

Was ist mit dem Nullvektor? Warum kann nicht der Nullvektor sein?
Schwucki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Weil der Nullvektor keine Lösung des Eigenwertproblems sein darf !
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RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Genau, Eigenvektoren sind per Definition vom Nullvektor verschieden. Damit ist also auch
Schwucki Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Danke, so schließt sich der Kreis ! (:
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