Eigenvektoren orthogonaler Matrizen |
25.05.2022, 12:49 | Schwucki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen Folgende Aufgabe: a) Zeigen Sie formal, dass die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix , dh , den Betrag 1 haben. Betrachten Sie dazzu das Produkt für einen Eigenvektor um zu zeigen. (benutzen Sie und begründen Sie diese GLeichung. Meine Ideen: Wir hatten schonmal eine ähnliche Aufgabe, bei der formal gezeigt werden sollte, dass die Eigenwerte einer symmetrischen n x n Matrix reell sind. Dabei wurde das Produkt betrachtet. Lösung war: Aufgrund der Symmetrie von A: Wäre sehr dankbar über jeden Hinweis. Diese "formalen" GLeichungen verwirren mich nur , lg! Okay, Hier meine Idee bisher: Es gilt , da eine orthogonale Matrix laut Definition stets eine reelle Matrix ist: Damit sind und identisch, weswegen und gilt. Soweit so gut? ^^ Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen |
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25.05.2022, 13:29 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen Schau dir deine Idee nochmal genau an und bedenke, dass für beliebige Matrizen gilt. |
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25.05.2022, 13:43 | Schwucki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen Okay. Also immer genau dann, wenn ? Daraus und aus meiner Idee mit folgt der geforderte Beweis? |
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25.05.2022, 14:06 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen Du hast richtig angefangen und dich dann gehörig verlaufen. Richtig wäre Das gilt für jeden beliebigen Vektor , man hat also noch überhaupt nicht benutzt, dass Eigenvektoren im Spiel sind. Deswegen betrachtet man die linke Seite nochmal für einen Eigenvektor, also |
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25.05.2022, 14:54 | Schwucki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen also nochmal von vorne Zunächst gilt aufgrund der Definition für orthogonale Matrizen, richtig? Dann: Ja? Mit dem Eigenvektor: Hier sieht man nun : So? |
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25.05.2022, 15:05 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Das gilt für jede reelle Matrix , es hat nichts mit der Orthogonalität zu tun.
Jaein. Ich war in meiner Ausführung selbst zu schludrig und habe nicht nur als reell angenommen sondern auch den Vektor . Das kann man nicht tun und muss genauer schreiben Der Rest stimmt dann, wenn man noch kurz erwähnt, warum ist |
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25.05.2022, 15:12 | Schwucki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Okay, Dann andersrum: Da orthogonale Matrizen stets reell sind, gilt Warum ist ? Dürfen die Vektoren nicht orthogonal sein, weil sonst das Eigenwertproblem nicht angewendet werden kann? |
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25.05.2022, 15:14 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen Welche Vektoren sind denn zu sich selbst orthogonal? |
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25.05.2022, 15:18 | Schwucki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen Ach natürlich ! Das kann ja gar nicht möglich sein Ich danke dir URL ! |
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25.05.2022, 15:29 | Schwucki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen Ich danke dir wirklich ! jetzt verstehe ich endlich diese formalen Ansätze aus den Übungen ebenso ! Danke !!! |
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25.05.2022, 15:41 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
Was ist mit dem Nullvektor? Warum kann nicht der Nullvektor sein? |
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25.05.2022, 15:44 | Schwucki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen Weil der Nullvektor keine Lösung des Eigenwertproblems sein darf ! |
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25.05.2022, 15:50 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen Genau, Eigenvektoren sind per Definition vom Nullvektor verschieden. Damit ist also auch |
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25.05.2022, 15:58 | Schwucki | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Eigenvektoren orthogonaler Matrizen Danke, so schließt sich der Kreis ! (: |
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