Eine Projektion

25.05.2022, 15:02

HiBee123

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Eine Projektion

Hallöchen

Wink

Es sei V Vektorraum $\begin{eqnarray*} p \in End(V) \end{eqnarray*}$ p heiße Projektion, wenn $\begin{eqnarray*} p^2=p \end{eqnarray*}$
Sei K Körper mit $\begin{eqnarray*} 1+1\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q\in End(V) \end{eqnarray*}$ eine weitere Projektion
Zu zeigen ist, dass p+q genau dann Projektion ist wenn $\begin{eqnarray*} p \circ q = 0= q\circ p \end{eqnarray*}$ ist
die eine richtung ist mir klar, wenn $\begin{eqnarray*} p \circ q = 0= q\circ p \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} (p+q)^2=p^2+q^2=p+q \end{eqnarray*}$ und wir sind fertig. Aber die Hinrichtung fehlt mir. mit ein bisschen Termumformung komme ich auf $\begin{eqnarray*} p \circ q =-q\circ p \end{eqnarray*}$ aber warum die Gleichheit gilt und somit $\begin{eqnarray*} p \circ q = 0= q\circ p \end{eqnarray*}$ sehe ich noch nicht...
könnt ihr mir weiterhelfen?

26.05.2022, 00:05

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RE: Eine Projektion
Betrachte $\begin{eqnarray*} p(pq+qp)p \end{eqnarray*}$

26.05.2022, 10:27

HiBee123

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RE: Eine Projektion
Ah Ja dankeschön Freude

Freude

Jetzt seh ich s auch smile

smile

26.05.2022, 12:31

HiBee123

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RE: Eine Projektion
Nochmal zur Projektion,
Eine weitere Teilaufgabe ist zu zeigen, dass p nur die Eigenwerte 0 und 1 besitzt...
wie mach ich das?

26.05.2022, 12:55

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RE: Eine Projektion
Da gibt's verschiedene Möglichkeiten. Man kann p auf die Eigenwertgleichung anwenden. Oder man bestimmt das charakteristische Polynom von p.

26.05.2022, 13:05

Elvis

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Nachdenken ... oder abschreiben.

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26.05.2022, 13:32

HiBee123

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Also das mit der direkten Summe hatte ich im Schritt davor so ähnlich gezeigt.
nämlich, dass V direkte Summe von Bild(p) und Kern(p) ist...
Zum Abschreiben habe ich schon diese Lösung hier gefunden...
Nur wenn möglich würde ich gerne verstehen was bei dieser oder der anderen Lösung passiert... Das wär echt super! smile

smile

26.05.2022, 14:15

Elvis

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Es hilft nichts, einen Beweis nur zu sehen oder sich erklären zu lassen. Man muss mit dem eigenen Gehirn darüber nachdenken und einen Beweis mit eigenen Worten formulieren, sonst versteht man nichts. Auch wenn man nicht vollständig durchkommt, ist ein Ansatz immer besser als nichts. Du darfst nicht nur fragen, du musst antworten und deine Ansätze hier aufschreiben und zur Diskussion stellen. Wenn du nicht schreibst, weiß niemand, woran du scheiterst und wie man noch weiter helfen soll.

26.05.2022, 15:12

HiBee123

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Okay gut... mmhhh..
bei deinem Beweis weiß ich nicht so recht, was pi' sein soll oder soll das pi orthogonal heißen?... und ich glaube wenn ich die Beweisidee richtig verstanden habe benutzt du , dass f ist diagonalisierbar äquivalent dazu ist,dass V direkte Summe aller Eigenräume zu den Eigenwerten ist...

aus der Teilaufgabe zuvor weiß ich bereits, dass V direkte Summe von Bild(p) und Kern(p) ist vielleicht kann ich das irgendwie benutzen... Wenn Bild (P) und Kern (p) Basis aus Eigenvektoren besitzen, bin ich auch fertig... Nur reicht es in diesem Beweis den ich gefunden hab schon aus das für Bild (p) zu zeigen... ich verstehe nicht warum... Was ist denn mit dem Kern?

Entschuldigung wenn ich nicht immer einen Ansatz schreibe... ich werd mich in Zukunf mehr bemühen!

26.05.2022, 18:47

Elvis

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Vielleicht hilft die zusätzliche Information, dass $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ die Identität ist. Dass mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \pi'=\iota-\pi \end{eqnarray*}$ eine Projektion ist, darfst du beweisen.

27.05.2022, 12:59

HiBee123

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Ja das hilft schonmal und die Frage ist ein Einzeiler...
$\begin{eqnarray*} (\pi')^2=(id-pi)^2=id^2-2\pi+\pi^2=id-2\pi+\pi=id-\pi=\pi' \end{eqnarray*}$

Was ich auch rausgefunden habe, ist das 0 und 1 die einzigen möglichen Eigenwerte sind, da
Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von p ist, dann ist,
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x=p(x)=p(p(x))=p(\lambda x)=\lambda^2x \end{eqnarray*}$

27.05.2022, 13:15

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Das hatte ich dir ja schon geraten: Man kann p auf die Eigenwertgleichung anwenden.
Jetzt musst du nur noch einen Blick auf Kern und Bild werfen, um die beiden Eigenwertkandidaten auch zu finden smile

smile

27.05.2022, 17:53

HiBee123

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Also wenn ich raten müsste, würde ich sagen Bild(p) ist Eigenraum zu Eingenwert 1 und Kern(p) ist Eigenraum zum Eigenwert 0. Ich glaub sowas ähnliches stand auch in Elvis' Beweis.
Wenn v im Kern liegt, dann ist p(v)=0 => 0 ist Eigenwert von v
Wenn w im Bild liegt... dann gilt p^2(w)=p(p(w))=p(w) => p(w) ist die Identität also ist p(w)=1w
somit ist 1 Eigenwert von w
Ist dieser Ansatz richtig?... oder ist das Kokolores...?
Folgt daraus sofort die diagonalisierbarkeit? Oder hab ich was übersehen?
verwirrt

verwirrt

27.05.2022, 18:01

Elvis

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Das ist alles richtig. Bei deinen Aufgaben und Beweisen kommt es nur noch darauf an, dass du immer jede einzelne Behauptung vollständig und sauber aufschreibst und danach einen Beweis für diese Behauptung vollständig und sauber aufschreibst. Niemals zwei Behauptungen gleichzeitig bearbeiten und niemals Behauptungen, Fragen und Beweise mischen. Denke an Euklid und arbeite immer methodisch in der Reihenfolge "Definition, Satz, Beweis". Im Beweis darfst du gerne auch erläuternde Kommentare unterbringen, denn da gehören sie hin. Fragen und Zweifel sind im Beweis nicht erlaubt, solange du Fragen hast, bist du noch nicht fertig und musst deine Fragen vollständig und sauber aufschreiben.

27.05.2022, 22:50

HiBee123

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Alles klar Big Laugh

Big Laugh

vielen lieben Dank für eure Hilfe... das war ja jetzt ne ganz schön schwere Geburt...

28.05.2022, 09:26

Elvis

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"p(w) ist die Identität" kann man allerdings nicht so sagen, da solltest du deinen Beweis noch einmal überdenken.

Zitat:

Original von HiBee123
Wenn w im Bild liegt... dann gilt p^2(w)=p(p(w))=p(w) => p(w) ist die Identität also ist p(w)=1w
somit ist 1 Eigenwert von w

Das klappt nicht ganz. Egal ob w im Bild(p) liegt oder nicht, es gilt für alle w aus V : p^2(w)=p(w), und daraus allein folgt nichts weiter.

06.06.2022, 12:07

HiBee123

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Okay... wie wärs mit einer beidseitigen Inklusion.
Wenn x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Eig(p,1) ist gilt:
$\begin{eqnarray*} p(x)=1\cdot x=x \in Bild(p) \end{eqnarray*}$
ist andersherum $\begin{eqnarray*} x \in Bild (p), \exists y \in V, s.d. f(y)=x \end{eqnarray*}$
also es ist f(x)=f(f(y))=f(y)=x= $\begin{eqnarray*} x\cdot 1 \Rightarrow x \in Eig(p,1) \end{eqnarray*}$

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