Autoversicherung

25.05.2022, 15:30

JolchiMan

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Autoversicherung

Leute habt ihr Tipps bei der Aufgabe .

A state has a law requiring motorists to carry insurance. It was estimated that, despite this law, 6% of all motorists in the state are uninsured. A random sample of 100 motorists are taken. Use the Poisson approximation to the binomial distribution to estimate the probability that at least 3 of the motorists in this sample are uninsured. Also indicate what calculations woud be needed to find this probability exactly if the Poisson approximation was not used.

25.05.2022, 18:03

klauss

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RE: Autoversicherung
Da der Anteil der Unversicherten 6 "vom Hundert" beträgt und der Stichprobenumfang praktischerweise auch n=100 ist, kann das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der Poissonverteilung leicht genannt werden.
Gesucht: $\begin{eqnarray*} P(X\geq 3) \end{eqnarray*}$
Verwende zur Berechnung das Gegenereignis.

Da dies als Näherung zur Binomialverteilung gebraucht wird, ist im 2. Teil die genauere Berechnung mit Binomialverteilung anzugeben.

25.05.2022, 18:35

Jolchi21

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n= 100

p = 0,06

Summer über diese Funktion im Anhang bilden also x Werte 0,1,2,3 einsetzen?

25.05.2022, 18:47

klauss

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Zitat:

Summer über diese Funktion im Anhang bilden also x Werte 0,1,2,3 einsetzen?

Nein, das untersuchte Ereignis ist "mindestens 3". Also mußt Du alle x-Werte von 3 bis 100 einsetzen ...
Es sei denn, Du nutzt meinen arbeitserleichternden Hinweis oben.

25.05.2022, 18:51

Jolchi21

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1-0,06 = 0,94

Wie geht es weiter ?

25.05.2022, 19:01

klauss

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Das ist nicht das Gegenereignis, sondern die Wahrscheinlichkeit für "1 zufällig ausgewählter Kraftfahrer ist versichert".
Kannst Du immerhin später im 2. Teil verwenden.

Zunächst lautet aber das Gegenereignis: "Höchstens 2 nicht versichert".
$\begin{eqnarray*} P(X\geq 3)=1-P(X\leq 2) \end{eqnarray*}$

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25.05.2022, 19:37

JolchiMan

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1–0.03718=0,963

Ist es so richtig?

25.05.2022, 19:40

klauss

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Den Rechenweg zum Wert 0.03718 müßtest Du bitte erläutern.

25.05.2022, 19:56

Jolchi21

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SO war meine Rechnung?

25.05.2022, 20:00

klauss

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Sieht richtig aus, müßte aber einen anderen Wert liefern.

25.05.2022, 20:13

JolchiMan

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Habe nochmal ausgerechnet : 0,938 ?

25.05.2022, 20:16

klauss

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Ja, das ist jetzt das Näherungs-Endergebnis.
Nun sollst Du den genauen Term angeben (und idealerweise auch ausrechnen).

25.05.2022, 20:27

Jolchi21

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Wir dürfen das ja mit Taschenrechner rechnen ,aber wie muss ich jetzt genau weiter rechnen bei diesem 2 Bereich ?

25.05.2022, 20:34

klauss

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Zum Ausrechnen kannst Du Hilfsmittel benutzen, aber zuerst mußt Du den richtigen Term der Binomialwahrscheinlichkeit mit $\begin{eqnarray*} n,p,x \end{eqnarray*}$ formulieren.

(Ich bin jetzt zwischendurch mal weg und so gegen 23 Uhr wieder online.)

25.05.2022, 20:47

Jolchi21

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hmm was für einen Term soll ich genau nutzen ?

25.05.2022, 21:44

Jolchi21

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Soll ich beim 2 Bereich die gleiche Formel nutzen nur mit p = 0,94?

Verstehe aber nicht warum wir beim ersten Bereich auch Gegenwahrscheinlichkeit nehmen ?

Und dann wieder bis 2 summieren oder wie ?

25.05.2022, 23:54

klauss

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Du mußt im Prinzip das Gleiche machen wie mit der Poisson-Formel, nur jetzt mit der Formel für die kumulierte Binomialverteilung. Die hast Du hier dokumentiert und bei der Basketball-Aufgabe auch schon angewendet (Lernerfolg?).

Was meinst Du mit "warum Gegenwahrscheinlichkeit"? Wie gesagt, ich überlasse es Dir, ohne Umweg über die Gegenwahrscheinlichkeit direkt $\begin{eqnarray*} P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+...+P(X=99)+P(X=100) \end{eqnarray*}$ aufzusummieren.

26.05.2022, 00:34

JolchiYeah

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$\begin{eqnarray*} 1-\sum\limits_{x=0}^{2} \frac{100!}{x!*(100-x)!}*0,94^x*(1-0,94)^{100-x} \end{eqnarray*}$

So oder ?
Oder soll ich bis 3 gehen?

26.05.2022, 00:58

klauss

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Na bitte, geht doch - fast!
Du hast nur die Plätze von $\begin{eqnarray*} 0,94 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-0,94) \end{eqnarray*}$ vertauscht. Denn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bezieht sich auf die nicht Versicherten.
Natürlich wird auch hier nur bis 2 summiert.
Nun vergleiche das Ergebnis mit der Poisson-Näherung.

26.05.2022, 01:10

JolchiYeah

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Bekomme wenn ich nur die Summe ausrechne dauernd error Big Laugh

Big Laugh

1- weglassen?
Keine Ahnung woran das liegt

26.05.2022, 01:19

klauss

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Wenn Du 100! so in den TR eingibst, kommt Error.
Für $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 100 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ brauchts keinen TR (Binomialkoeffizienten üben!).
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 100 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schafft er mit der nCr-Taste.

26.05.2022, 01:30

JolchiYeah

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für x = 0 muss ja 0 rauskommen

Wie rechnet man das genau mit x = 1 aus?

26.05.2022, 01:38

klauss

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x = 1 in den Quotienten einsetzen und feststellen, dass sich fast alles wegkürzt.
Funktioniert dann auch für x = 2 ohne TR.

26.05.2022, 01:41

JolchiYeah

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$\begin{eqnarray*} \frac{100!}{1!*(99)!}*0,94^1*(1-0,94)^{99} \end{eqnarray*}$

Wie weiter kürzen?

26.05.2022, 01:51

klauss

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Bisher nicht beachtet:

Zitat:

Original von klauss
Du hast nur die Plätze von $\begin{eqnarray*} 0,94 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-0,94) \end{eqnarray*}$ vertauscht.

Die richtige Potenz 99 ist mit TR zu berechnen.

Der Bruch kürzt sich auf eine schlichte Zahl zusammen. Was passiert bei Fakultäten?
Alternativ: Anzahl der Möglichkeiten, 1 Objekt aus 100 auszuwählen.

26.05.2022, 02:06

JolchiYeah

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ich kriege bei 99! direkt error

Kann das ergebnis nicht ausrechnen Big Laugh

Big Laugh

?

26.05.2022, 02:17

klauss

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Sicher, bei Einzelfakultäten über 69 kriegst Du immer Error.
Deswegen Fakultäten ausgeschrieben andeuten:
$\begin{eqnarray*} 100!=100\cdot 99\cdot 98\cdot 97\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 99!=99\cdot 98\cdot 97\cdot ...\cdot 3\cdot 2\cdot 1 \end{eqnarray*}$
Und nu den Quotienten bilden.

26.05.2022, 02:27

JolchiYeah

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$\begin{eqnarray*} \frac{100}{1}*0,94^1*(1-0,94)^{99} =0 \end{eqnarray*}$

für x = 1 kommt 0 raus?

man bekomme für x =2 auch 0 raus

26.05.2022, 02:33

klauss

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Zum dritten Mal:

Zitat:

Original von klauss
Bisher nicht beachtet:

Zitat:

Original von klauss
Du hast nur die Plätze von $\begin{eqnarray*} 0,94 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-0,94) \end{eqnarray*}$ vertauscht.

26.05.2022, 02:41

JolchiYeah

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verwirrt

Verstehe nicht was du damit meinst leider ?
Was genau vertauscht ?
Habe die Formel nur angewendet

26.05.2022, 02:49

klauss

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Die Positionen von $\begin{eqnarray*} 0,94 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-0,94) \end{eqnarray*}$ in der Formel sind vertauscht.
$\begin{eqnarray*} 0,94 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-0,94) \end{eqnarray*}$ müssen Platz tauschen.
Da wo $\begin{eqnarray*} 0,94 \end{eqnarray*}$ steht, gehört $\begin{eqnarray*} (1-0,94) \end{eqnarray*}$ hin und umgekehrt.

26.05.2022, 02:51

JolchiYeah

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warum siehe Formel?

26.05.2022, 02:57

klauss

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Ja schön - in dieser Formel steht $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der untersuchten Eigenschaft. Das ist hier "nicht versichert" mit $\begin{eqnarray*} p=0,06 \end{eqnarray*}$ .

26.05.2022, 11:46

JolchiYeah

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$\begin{eqnarray*} \frac{100}{1}*(1-0,94)^{99}*0,94^1 =1,05*10^{-27} \end{eqnarray*}$

Ja aber wo steht denn diese Formel umgekehrt ? Big Laugh

Big Laugh

Habe die nicht in Unterlagen

26.05.2022, 12:07

klauss

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Ein schweres Stück Arbeit ...
Ich habe nur gesagt, Du sollst $\begin{eqnarray*} 0,94 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-0,94) \end{eqnarray*}$ tauschen, die Exponenten bleiben, wo sie sind!
Du kannst auch die Exponenten vertauschen und $\begin{eqnarray*} 0,94 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1-0,94) \end{eqnarray*}$ stehenlassen.
Aber nicht beides zusammen tauschen (das verändert doch nichts wegen Kommutativgesetz).

Die Formel muß nirgends umgekehrt stehen, man muß nur die Wahrscheinlichkeit der untersuchten Eigenschaft richtig einsetzen. Wenn ein Merkmal (hier: "nicht versichert") $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -mal auftreten soll, dann ist die Wahrscheinlickeit des Merkmals (hier: 0,06) gleich $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , weil das hoch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ genommen wird.

26.05.2022, 12:11

JolchiYeah

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man bin gerade verwirrt

Soll ich p= 0,06 einsetzen ?

und nicht p = 0,94

26.05.2022, 12:14

klauss

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So ist es.

26.05.2022, 12:54

JolchiYeah

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$\begin{eqnarray*} \frac{100}{1}*(1-0,06)^{99}*0,06^1 =0,0131 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{100!}{2!*(98!)}*(1-0,06)^{98}*0,94^2 = \frac{100*99}{2!}*(1-0,06)^{98}*0,06^2 = 0,041 \end{eqnarray*}$

Die Summe daraus bilden und 1-summe?

26.05.2022, 12:58

klauss

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Ja, 3 Summanden für x = 0, 1, 2 und die Summe von 1 abziehen.

26.05.2022, 13:05

JolchiYeah

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Bei 0 ist ja o

Also

1-0,0131 - 0,041 = 0,9459 ?

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