Erweitertes Ziegenproblem |
| 25.05.2022, 20:07 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Erweitertes Ziegenproblem es gibt ja das altbekannte Rätsel mit der gefräßigen Ziege, die am Umfang einer kreisförmigen Wiese angepflockt ist und dort die Hälfte der Kreisfläche abgrasen soll. Behandelt und gelöst wurde das schon: hier: Neues Problem: Ein findiger Maschinenbau-Ingenieur hat sich nun für seine Ziege eine Apparatur ausgedacht, die sich derselben Zielsetzung verschreibt. Es handelt sich wieder um eine umzäunte kreisrunde Wiese, die einen Radius von 10 Meter hat. Wieder kann sich die Ziege von einem Punkt am Kreisumfang (Zaun) aus nur mit einem bestimmten Radius bewegen und abgrasen. Das Problem besteht nun darin, dass es sich nicht um einen festen Punkt am Kreisumfang handelt, sondern sich dieser bewegen kann und sich somit auch die „Fressradien“ für die Ziege verändern werden! Wie die Konstruktion funktioniert, zeigt die Skizze der Anlage. Um die Lageveränderung der Drehpunkte für die Ziege zu realisieren, setzt der Ingenieur einen Motorschlitten ein, der sich im Abstand von 10 Meter zum Zaun linear hin und her bewegt. In den beiden Endlagen (x = +/- 16 Meter) hat die Ziege noch einen verfügbaren Seilradius von etwa 5,388 Meter. In der mittleren Null-Stellung ist der Radius maximal 11 Meter groß. Der positionsabhängige Seilradius ergibt sich aus der Gesamtlänge des Seiles (21 Meter) und dem Abstand zwischen den Punkten A und B. Das eine Seilende ist im Drehpunkt des Motorschlittens befestigt, das andere am Hals der Ziege. Um die Ziege nicht zu sehr zu traktieren, richtet der Ingenieur seine Konstruktion so ein, dass der Schlitten innerhalb von 12 Stunden einmal hin und her fährt. In den restlichen 12 Stunden des Tages bleibt der Antrieb ruhend in der Null-Stellung, damit die Ziege ebenfalls zur Ruhe kommt. Und nun zur Fragestellung: Über welche theoretisch maximale „Futterfläche“ verfügt die Ziege jeden Tag? Hat der Ingenieur seine angestrebte Zielsetzung (Futterfläche soll mindestens 50% der kreisförmigen Wiesenfläche sein) auch wirklich erreicht? Dann viel Spaß dabei! Gruß Conny . |
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| 28.05.2022, 19:09 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Erweitertes Ziegenproblem Du hast Dir viel Mühe mit der Beschreibung und der Skizze gemacht, da wollte ich einfach - zumindest rechnerisch - nicht nachstehen. Um den Aufwand überschaubar zu halten, habe ich versucht, die Futterfläche mit nur 3 Seilradien möglichst gut anzunähern. Nach meiner Rechnung unter Einsatz von reichlich elektron. Hilfsmitteln ist eine Futterfläche von mindestens 50,2 % der Wiese verfügbar. Ich gehe also davon aus, dass die vorrangige Zielsetzung erreicht ist, und verzichte auf die Berechnung der letzten Fitzelchen, die noch zur theoretisch maximalen Fläche fehlen mögen. [attach]55200[/attach] |
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| 29.05.2022, 09:41 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Erweitertes Ziegenproblem Hallo klauss, danke, dass du dir mit einer ersten "3-Radien-Abschätzung" einen Überblick verschafft hast, wohin die Reise bei dem Ergebnis geht. Ich muss zugeben, dass man schon einen gewissen Aufwand betreiben oder einen Geistesblitz haben muss, um sich dem wahren Ergebnis zu nähern. Ich habe mich über zwei unterschiedliche Methoden einem Ergebnis angenähert, welches jedoch kleiner ist als deine erste Prognose (?). Wenn ich mich verrechnet haben sollte, dann liegen meine beiden Ergebnisse aber nur um 0,0051% auseinander. Aber, wer weiß??? Tipp: Bei meiner ersten Methode habe ich mich gefragt, wie ich mich mathematisch der "Einhüllenden" (Enveloppe) nähern kann. Die dabei abfallenden Bestimmungsgleichungen sind zugegeben ziemlich ausufernd, aber numerisch dennoch lösbar. Bei meiner zweiten Methode greife ich auf einen Trick zurück, den man eher der Fraktion der "Maschinenbauer" zugestehen muss, weil es eine "Kurve" gibt, die den antriebstechnischen Ingenieuren sehr bekannt ist und auf jeden Fall zu deren Studiuminhalt gehört. Mit dieser "Kurve" kommt man auch elegant zu einer Annäherung der überstrichenen Fläche, die in einem zweiten Schritt weitestgehend von ihrem Fehler befreit werden kann. Dabei reicht das Wissen über die einfachsten Grundintegrale eigentlich aus. Wie auch immer, bei beiden Methoden muss man etwas an Aufwand investieren. (die signifikanten Punkte und Winkel von deinem blauen Kreis spielen da eine wichtige Rolle) Aber vielleicht gibt es noch weiteren geniale Möglichkeiten, zu einem aussagekräftigen Ergebnis zu kommen????? Gruß Conny |
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| 29.05.2022, 11:18 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Erweitertes Ziegenproblem Danke für die Hinweise. Ich bin nicht speziell Maschinenbauer/Antriebstechniker, aber wenn es einen analytischen Ansatz zur Berechnung der Einhüllenden (mit guter Beschreibung) gibt, würde er mich schon interessieren. Ebenso wäre natürlich letztlich das genaue Ergebnis der Futterfläche interessant, d. h. wieviel auf meine Schätzung noch draufkommt. Sicher hätte ich noch mehr probieren können, aber den Aufwand scheue ich aus Zeitgründen. |
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| 29.05.2022, 20:24 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Erweitertes Ziegenproblem Hinsichtlich der Methode (1) zitiere ich einfach mal aus einem alten Taschenbuch der Mathematik für Studierende der Technik: "Die Gleichung der Hüllkurve oder Enveloppe einer durch die Gleichung F(X,Y,C)=0 mit C als Parameter in einem rechtwinkligen XY-Koordinatensystem dargestellten Kurvenschar wird erhalten durch Elimination von C aus (A) und (B) Die Gesamtheit der Normalen einer Kurve besitzt z.B. als Enveloppe die zugehörige Evolute." Das wäre erst einmal das Standardrezept zur Bestimmung der Hüllkurve, wobei ich vorausschicken möchte, dass die Aussage "... wird erhalten durch Elimination von C ..." ziemlich einfach dahergesagt wird. Ich habe diesen Weg (nach C aufzulösen) tunlichst vermieden. Wenn ich z.B. deinen blauen "Futterkreis" nehme, dann kenne ich alle möglichen Ortspunkte (X,Y) auf diesem Kreis. Als Parameter C kann man beispielsweise die y-Koordinate vom Mittelpunkt des blauen Kreises verwenden, dann lässt sich daraus eine Funktion F(X,Y,C)=0 basteln sowie die Zusatzforderung (A) darauf anwenden. Diese beiden Gleichungen sollten dann auch für sämtliche Kreise der Kurvenschar gelten, wenn man sie über den Parameter C abläuft. Wenn man die Wertepaare (X,Y) der Enveloppe erst einmal hat, dann kann auch eine numerische Integration zur Berechnung der gesuchten Fläche folgen. Hinsichtlich der Methode (2) verrate ich vorerst nur so viel, dass die "Maschinenbau-Lösung" getreu der pragmatischen Devise verfährt: Man nutze die diversen mathematischen Werkzeuge so lange bis sie stumpf werden, um dann wieder nach neuen Werkzeugen Ausschau zu halten. Auf das vorliegende Problem gemünzt heißt das, man kann für diesen speziellen Fall glücklicherweise etwas ausnutzen, aber man sollte es nicht allgemein für jegliche Fälle dieser Art von Problemstellung anwenden. Und wenn ein Maschinenbauer nach einer bequemen Evoluten-Lösung sucht, dann rattern bei ihm zumeist die Zahnräder im Kopf. 
Gruß Conny |
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| 31.05.2022, 15:27 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Erweitertes Ziegenproblem Hallo klauss, ich habe deine "3-Kreise-Lösung" auch noch einmal durchgerechnet und bin wirklich erstaunt, wie gut man schon an das Ergebnis kommt. Das hätte ich nicht gedacht!!! Ich komme bei dieser Annäherung auf den Wert 50.2308% (siehe Skizze der Anlage; gerechnet mit Einheit mm und cm^2 in CATIA). Auf deine Frage, wie nah du damit an das gesuchten Ergebnis gekommen bist: 50.00% < 50.23% < ??? Antwort: Mit der "3-Kreise-Lösung" liegt man bezogen auf das Ergebnis-Intervall [50.00%, ???] ziemlich knapp in der Mitte. Immerhin hast du über diesen Weg schon die Teilantwort geben können, dass die Mindestfläche von 50% auf jeden Fall erreicht wird. Super!!! (meine Lösungswege werde ich zum späteren Zeitpunkt einstellen, falls denn doch jemand noch etwas grübeln/rechnen möchte) Info am Rande: Ich habe u.a. mit folgender Funktion die Punkte bestimmt. Gruß Conny . |
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| 31.05.2022, 16:06 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Erweitertes Ziegenproblem Danke. Ich habe mir ein paar Kreise anzeigen lassen und festgestellt, dass diese drei die Einhüllende schon recht gut annähern müßten, also eine feinere Abstufung nur noch marginalen Flächenzuwachs bringen kann. Insbesondere liegen Kreisbögen schon innerhalb dieser Annäherung, wenn der Motorschlitten sich den Punkten A, B nähert. Dies in der Hoffnung, die Haupt-Aussage (mind. 50 %) beantworten zu können, was sich anscheinend bewahrheitet hat. Mein Ergebnis war auch etwas über 50,2, ich habe dann aus Vorsicht abgerundet, da nicht alle Teilergebnisse mit derselben Anzahl Nachkommastellen zur Verfügung standen. Bleibt jetzt letztlich die Frage nach der exakten Lösung. |
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| 01.06.2022, 08:14 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Off-topic Als Stochastiker habe ich beim Lesen der Überschrift "Ziegenproblem" an was ganz anderes gedacht. Aber tatsächlich, auch Wikipedia führt beide an: https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem https://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem_(Geometrie) |
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| 01.06.2022, 08:17 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Servus miteinand, nach einigem Zögern möchte ich mein mageres Ergebnis mitteilen. Ich komme mit neun Kreisen (pro Hälfte) auf ca. 50.4346%, aber leider nur auf grafischem Wege. Eine kleine LISP-Routine zeichnet mir die Kreise in beliebiger Dichte, alles Weitere muss ich "händisch", d.h. mit Zeichenbefehlen in einem CAD-System erledigen: also Kreise aufbrechen und löschen bis auf die entsprechenden Bögen, diese untereinander und mit der übrigen Begrenzung zu einer geschlossenen Polylinie verbinden. Die rechnerische Seite des Problems verstehe ich nur soweit, dass ich das LISP-tool schreiben konnte. Ich hatte gehofft, so vielleicht auf eine mathematische Lösung zu kommen, aber Fehlanzeige! Ich kann nur zeigen, dass die "Fresskurve", die den Fressbereich der Ziege von der restlichen Wiese abtrennt, kein Kreisbogen (rot) ist. Ein Teil einer Ellipse ? [attach]55257[/attach] Auf jeden Fall ein schönes, anspruchsvolles Rätsel. Und 1A präsentiert! 
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| 01.06.2022, 20:39 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast du dir wirklich eine Menge Arbeit gemacht, die neun Kreise alle miteinander zu trimmen. Aber die Mühe hat sich echt gelohnt, denn dein Ergebnis ist schon über 99,97% an dem Wert dran, den ich herausbekommen habe. Ich denke, als stückweise Näherung ist das schon ein phantastisch gutes Resultat. Gruß Conny |
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| 03.06.2022, 15:30 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
[1] So, dann werde ich einmal meine Näherungslösungen hier veröffentlichen, die ich in zwei Pakete unterteilen möchte. Mit dem ersten Lösungsweg gehe ich darauf ein, wie man zu den X-Y-Werten der Enveloppe kommt. Wenn man diese hat, dann ist es auch möglich, die Fläche zwischen Kreisbogen und Enveloppe per numerischer Integration zu berechnen. Vorweg gesagt, ich bin dabei etwas hemdsärmelig an die Sache rangegangen und habe „Wolfram sei Dank“ einige Gleichungsschritte über jene Online-Rechenmaschine bewältigen lassen. Mit dem 1.Ansatz bin ich auf ein Ergebnis von 50.449% gekommen (=158.490 FE). / siehe Anlage Gruß Conny . |
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| 03.06.2022, 15:36 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
[2] Und hier ist der zweite Lösungsweg, den man als „Maschinenbauer-Lösung“ bezeichnen kann. In diesem Fall habe ich mir geometrisch einen Abrollkreis in der Konstruktion erzeugt. Der „abrollende Faden“ erzeugt dabei eine Kreisevolvente, die ziemlich nah an der Enveloppe liegt. Alles Weitere findet ihr in der Anlage. Bei diesem Verfahren komme ich auf eine Fläche von 158.482 FE.
Mich hat ein wenig gewundert, dass im deutschen Wikipedia-Beitrag „Ziegenproblem (Geometrie)“ gar kein Hinweis zu finden ist, dass dieses Rätsel einst in den 1980er in der WDR-Sendung „Kopf um Kopf“ als Zuschauerfrage präsentiert wurde und zu einer gewisse Popularität verholfen hat. Das waren noch Zeiten, da konnte man noch einen „Commodore 64“ als Gewinn abräumen
Gruß Conny. |
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| 04.06.2022, 08:03 | Conny_1729 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Abschluss: An dieser Aufgabenstellung kann man gut erkennen, wie ein recht einfaches Problem aus der Geometrie doch schnell zu einem mühsamen Akt wird, wenn man nach einer Lösung sucht, auch wenn es sich dann „nur“ um eine Näherungslösung handelt. Insofern war die konkrete Fragestellung nach der „Futterfläche“ noch in einem akzeptablen Rahmen. Weitaus schwieriger wäre gewesen, wenn man getreu dem „Geo-Ziegenproblem“ danach gefragt hätte, wie lang denn das gesamte Seil hätte sein müssen, um genau die 50%-Marke zu erreichen? Jetzt, da für die Situation „Gesamtlänge des Seiles = 21 Meter“ ein Ergebnis vorliegt, das sehr nahe an 50% liegt, kann man nun eine weitere Abschätzung vornehmen, um welchen Längenbetrag das Seil zu kürzen wäre, damit man dieser Zielvorgabe gerecht wird. Hilfreich dabei ist wieder der Lösungsansatz mit der Kreisevolvente, denn man muss sich ja nur vorstellen, dass der Abrollfaden näherungsweise nur um einen kleinen Betrag kürzer ausfallen müsste. Dann sollte gelten: Die Fehlerfläche ist: Damit erhält man dann die zu kürzende Seilstrecke: Demnach könnte als erste Abschätzung angegeben werden, dass bei einer Gesamtlänge des Seiles von 20.9326 Meter die „Futterfläche“ bei nahezu 50% liegen sollte. Oder sehe ich das etwa zu optimistisch??? Gruß Conny |
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