Basis Unterraum Abbildungen

26.05.2022, 22:21	linearealgebranachts	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Unterraum Abbildungen Meine Frage: Folgender Untervektorraum ist gegeben: A = {g $\begin{eqnarray} \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ \| g(x) = g(x+3)} was ist hierfür eine passende Basis? Meine Ideen: Ich empfinde starke Probleme, auf die Basis eines Vektorraums zu kommen, wenn dieser nicht aus Vektoren besteht.
26.05.2022, 23:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abbildungen $\begin{align} g \end{align}$ bilden $\begin{align} \mathbb{Z} \end{align}$ auf $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ ab. Du könntest dir diese $\begin{align} g \end{align}$ als nach links und rechts unendlich fortgesetze Ketten reeller Zahlen denken. Die Forderung $\begin{align} g(x)=g(x+3) \end{align}$ bringt zum Ausdruck, daß die Ketten die Periode 3 besitzen. Eine solche Kette wäre zum Beispiel $\begin{align} g = \left( \ldots, \sqrt{2}, \frac{1}{3}, -4, \sqrt{2}, \frac{1}{3}, - 4; \sqrt{2}, \frac{1}{3}, -4, \sqrt{2}, \frac{1}{3}, - 4, \ldots \right) \end{align}$ Der Strichpunkt soll zum Ausdruck bringen, daß dort die Grenze zwischen $\begin{align} g(-1)=-4 \end{align}$ und $\begin{align} g(0)= \sqrt{2} \end{align}$ ist. Jede Kette kann mit Hilfe dreier Basiselemente, die ich mal $\begin{align} e_0,e_1,e_2 \end{align}$ nenne, geschrieben werden, obige zum Beispiel so: $\begin{align} g = \sqrt{2} \, e_0 + \frac{1}{3} \, e_1 - 4 \, e_2 \end{align}$ Siehst du, was für $\begin{align} e_0, \, e_1, \, e_2 \end{align}$ in Frage kommen?
27.05.2022, 00:59	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine glasklare Anschauung kriegt man wie folgt. Bei der Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi\colon A\to\operatorname{Abb}(\mathbb Z/3\mathbb Z,\mathbb R),\quad \varphi(f)([x]) := f(x). \end{eqnarray}$ handelt es sich um einen linearen Isomorphismus zwischen Vektorräumen. Ist $\begin{eqnarray} \varphi(f) \end{eqnarray}$ wohldefiniert? Sei dazu $\begin{eqnarray} [x] = [y]. \end{eqnarray}$ Dann gilt $\begin{eqnarray} x=y+3k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k\in\mathbb Z, \end{eqnarray}$ womit sich $\begin{eqnarray} f(x) = f(y+3k) = f(y) \end{eqnarray}$ aufgrund der Periodizität ergibt. Ergo ist $\begin{eqnarray} \varphi(f)([x])=\varphi(f)([y]), \end{eqnarray}$ womit der Wert nicht von der Wahl des Repräsentanten der Restklasse abhängt. Die Linearität ergibt sich mühelos mit $\begin{eqnarray} \varphi(f+g)([x]) = (f+g)(x) = f(x)+g(x) = \varphi(f)([x])+\varphi(g)([x]) = (\varphi(f)+\varphi(g))([x]) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi(\lambda f)([x]) = (\lambda f)(x) = \lambda f(x) = \lambda\varphi(f)([x]) = (\lambda\varphi(f))([x]). \end{eqnarray}$ Nun zur Bijektivität. Die Abbildung $\begin{eqnarray} \psi(f)(x) = f([x]) \end{eqnarray}$ sollte dafür sowohl eine Linksinverse als auch eine Rechtsinverse von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ sein. Man findet dazu $\begin{eqnarray} (\psi\circ\varphi)(f)(x) = \psi(\varphi(f))(x) = \varphi(f)([x]) = f(x) = \operatorname{id}(f)(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\varphi\circ\psi)(f)([x]) = \varphi(\psi(f))([x]) = \psi(f)(x) = f([x]) = \operatorname{id}(f)([x]). \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ eine endliche Menge von drei Elementen. Gesucht ist eine Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(E,\mathbb R) \end{eqnarray}$ über dem Körper $\begin{eqnarray} \mathbb R. \end{eqnarray}$ Nun darf man ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\begin{eqnarray} E=\{1,2,3\} \end{eqnarray}$ setzen, wobei der Koordinatenraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ kanonisch isomorph zu $\begin{eqnarray} \operatorname{Abb}(E,\mathbb R) \end{eqnarray}$ wird. Einem Koordinatenvektor wird hierbei die Indizierungsabbildung zugeordnet, also $\begin{eqnarray} \Phi(\mathbf v)(i) := \langle\mathbf e_i,\mathbf v\rangle \end{eqnarray}$ mit der Standardbasis $\begin{eqnarray} (\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3). \end{eqnarray}$ Dieser lineare Isomorphismus $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ vermittelt ein Koordinatensystem, so dass mit $\begin{eqnarray} e_k = \Phi(\mathbf e_k) \end{eqnarray}$ ein Wechsel zur Basis des Funktionenraums stattfindet. Für $\begin{eqnarray} f(k):=y_k \end{eqnarray}$ hat man also $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{k=1}^3 y_k e_k(x). \end{eqnarray}$

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