Integrale

27.05.2022, 15:41	maths4u	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrale Hallo zusammen! Ich soll hier überprüfen, ob die uneigentlichen Integrale konvergieren. Ich hab da mal was probiert, aber bin mir nicht sicher, ob meine Berechnungen richtig sind. Könnt ihr einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben?
27.05.2022, 16:35	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu e). Mit der Substitution $\begin{eqnarray} u = -ax \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx} = -a \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \mathrm dx = -\frac{1}{a}\mathrm du. \end{eqnarray}$ Hiermit findet sich $\begin{eqnarray} \int_{x=0}^{x=b} e^{-ax}\,\mathrm dx = -\frac{1}{a}\int_{u=0}^{u=-ab} e^u\,\mathrm du = -\frac{1}{a}[e^u]_{u=0}^{u=-ab} = -\frac{1}{a}(e^{-ab}-1). \end{eqnarray}$ Zu f). Es ist $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ eine gebundene Variable, darf deshalb im Wert des bestimmten Integrals per se nicht vorkommen. Außerdem besitzt der Integrand eine Definitionslücke bei $\begin{eqnarray} x=0. \end{eqnarray}$ Du musst dich daher erst einmal fragen, wie dieses Integral definiert sein soll.
05.06.2022, 09:21	maths4u	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für deine Erklärung! Ich rechne das ganze mal nach und melde mich hier wieder.
07.06.2022, 10:13	maths4u	Auf diesen Beitrag antworten »
e) habe ich verstanden, bei f) mangelt es noch. Bei f) habe ich die integrale unterteilt in -1,0 und 0,1, aber das Ergebnis stimmt immer noch nicht. Als lösung sollte hier -2 rauskommen.
17.06.2022, 20:38	Sam:)	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde vorschlagen als erstes wirst du den Betrag los indem du erkennst, dass das Integral von -1 bis 1 von ln(\|x\|) diesem hier entspricht: 2(Integral von 0 bis 1 von ln(x) ) Dann das Integral mit partieller Integratin ausrechnen liefert: 2(lim b-> unendlich von ln(1) -bln(b) -1)) = -2
18.06.2022, 08:38	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das eigentliche Problem bei Aufgabe f) ist, daß der Integrand bei $\begin{align} x=0 \end{align}$ nicht definiert ist. Deswegen ist das Integral in zwei Summanden aufzuteilen und deren Konvergenz zu untersuchen. Da hast du richtig begonnen. Dein Hauptfehler besteht dann darin, daß du nicht zwischen unbestimmter Integration, d.h. dem Bestimmen einer Stammfunktion, und bestimmter Integration, d.h. dem Berechnen eines Integralwerts mit Hilfe einer Stammfunktion, unterscheidest. Du machst in derselben Rechnung Teile unbestimmt und Teile bestimmt und bringst auch noch bei einzelnen Ausdrücken einen Limes ins Spiel. So entsteht mathematischer Unsinn. Du kannst so vorgehen: 1. Bestimme zu $\begin{align} f(x) = \ln \|x\| \end{align}$ eine Stammfunktion $\begin{align} F(x) \end{align}$ (unbestimmte Integration). 2. Berechne dann die beiden Integrale $\begin{align} \int \limits_{-1}^b \ln \|x\| ~ \dd x = F(b) - F(-1) \end{align}$ für ein $\begin{align} b \end{align}$ mit $\begin{align} -1<b<0 \end{align}$ $\begin{align} \int \limits_a^1 \ln \|x\| ~ \dd x = F(1) - F(a) \end{align}$ für ein $\begin{align} a \end{align}$ mit $\begin{align} 0<a<1 \end{align}$ 3. Untersuche dann, ob die Grenzwerte für $\begin{align} b \to 0^- \end{align}$ beziehungsweise $\begin{align} a \to 0^+ \end{align}$ existieren. Wenn das der Fall ist und die Grenzwerte $\begin{align} \beta \end{align}$ beziehungsweise $\begin{align} \alpha \end{align}$ sind, dann darfst du schreiben: $\begin{align} \int \limits_{-1}^0 \ln\|x\| ~ \dd x = \lim_{b \to 0^-} \int \limits_{-1}^b \ln \|x\| ~ \dd x = \beta \end{align}$ $\begin{align} \int \limits_0^1 \ln\|x\| ~ \dd x = \lim_{a \to 0^+} \int \limits_a^1 \ln \|x\| ~ \dd x = \alpha \end{align}$ 4. Schließlich ist dann $\begin{align} \int \limits_{-1}^1 \ln \|x\| ~ \dd x = \int \limits_{-1}^0 \ln \|x\| ~ \dd x + \int \limits_0^1 \ln \|x\| ~ \dd x = \beta + \alpha \end{align}$ Nur so wird das etwas. Damit du das Prinzip begreifst, würde ich Dir vorschlagen, genau wie von mir beschrieben vorzugehen. (In diesem konkreten Fall geht es noch ein wenig schneller, wenn du den Tip von Sam:) berücksichtigst: $\begin{align} f(x) = \ln \|x\| \end{align}$ ist eine gerade Funktion, d.h. es gilt. $\begin{align} f(-x) = f(x) \end{align}$ . Tu das dann hinterher.) Und noch etwas: Denk immer an die Betragsstriche. Man hat den Eindruck, daß du diese einfach ignorierst, wenn du nicht weißt, wie du mit ihnen umzugehen hast. Das ist, wie wenn jemand das Wurzelzeichen nicht versteht und dieses daher ignoriert: $\begin{align} 3 \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot 5 = 15 \end{align}$ Das leuchtet sofort ein, daß man es so nicht machen kann. Dann aber bitte auch keine Betragsstriche ignorieren. Ich beginne einmal mit 1. Ich schicke vorweg, daß $\begin{align} G(x) = \ln \|x\| \end{align}$ (mit Betragsstrichen) eine Stammfunktion von $\begin{align} g(x) = \frac{1}{x} \end{align}$ (ohne Betragsstriche) ist, und zwar sowohl auf dem Intervall $\begin{align} \left( - \infty , 0 \right) \end{align}$ als auch auf dem Intervall $\begin{align} \left( 0 , \infty \right) \end{align}$ . Das lernt man im Rahmen der Integralrechnung. Anders gesagt: Auf jedem Intervall gilt jeweils $\begin{align} G'(x) = \frac{1}{x} \end{align}$ . Jetzt führen wir eine unbestimmte partielle Integration durch (keine Intervallgrenzen): $\begin{align} \int \ln \|x\| ~ \dd x = x \cdot \ln \|x\| - \int x \cdot \frac{1}{x} ~ \dd x = x \cdot \ln \|x\| - \int \dd x = x \cdot \ln \|x\| - x \end{align}$ Rechts steht nun eine mögliche Stammfunktion. Andere bekommt man, indem man eine beliebige Konstante addiert. Uns genügt eine, daher: $\begin{align} f(x) = \ln \|x\| \end{align}$ besitzt die Stammfunktion $\begin{align} F(x) = x \cdot \ln \|x\| - x \end{align}$ . Jetzt weiter mit 2., 3. und 4.
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