Nachweis eines metrischen Raums |
| 28.05.2022, 17:20 | Samsara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Nachweis eines metrischen Raums Sei d:RxR nach R die Abbildung d(x,y):=|x-y|/(1+|x-y|, xyeR Beweisen Sie, dass(R,d) ein metrischer Raum ist Meine Ideen: Was mir hier nicht mehr einfällt ist, wie ich zum Kehrwert dieses Bruchs komme, der dann 1/|x-y| lautet. Wenn ich den Bruche umdrehe, dann steht zunächst 1+|x-y|/|x-y|=1/|x-y|+1>= 1/(|x-y|+|z-y|) . Das ist jetzt der anfangs teil der Lösung. Zunächst habe ich Probleme schrittweise auf den Kehrwehrt des Bruches zu kommen. |
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| 28.05.2022, 17:47 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es mir etwas unklar, was du willst. Ich vermute mal, daß es dir um die Dreiecksungleichung geht. Ein Vorschlag. Zeige auf irgendeine dir vertraute Art, daß die Funktion streng monoton wächst. Dann kannst du auf die gewöhnliche Dreiecksungleichung anwenden und bist mit einer kleinen Umformung und einer weiteren offensichtlichen Abschätzung am Ziel. (Inspiriert wurde dieser Vorschlag von meinem Beispiel in diesem Problem.) |
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| 28.05.2022, 21:30 | Samsara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich komme trotz allem immer noch nicht mit einer kleinen Umformung zurecht. |
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| 28.05.2022, 21:57 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um deiner Aussage Glaubwürdigkeit zu verleihen, solltest du einmal vollständig aufschreiben, was du bisher erreicht hast. Bist du meinem Vorschlag gefolgt oder hast du einen anderen Weg beschritten? Und wenn du es getan hast, wie ich es empfohlen habe, wie hast du dann die Monotonie von nachgewiesen und auf die Ungleichung angewandt? |
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| 28.05.2022, 22:54 | Samsara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die Funktion geht gegen 1, und mir ist immer noch nicht klar, bzw. ich sehe nicht, wie t/(1+t) =1-1/(1+t) in die Dreiecksungleichung einbauen kann. Genauso wenig sehe ich bei dem anderen Lösungsansatz für x+y 1/(d(x,y)) = 1+|x-y|/(|x-y|) = 1/(|x-y|)+1>=1/(|x-z|+|z-y|).. mit dem Rest komme ich möglicherweise klar ich hoffe es wenigstens, aber die Abfolge bei diesem Umkehrbruch, so wurde das auch genannt, und da habe ich geglaubt ich komme damit zurecht, was bis jetzt nicht der Fall ist. |
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| 28.05.2022, 23:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte gib dir mehr Mühe, deine Formeln lesbar zu machen. Verwende den Formeleditor. Ich weiß nicht, wo bei dir die eine Formel anfängt und die andere aufhört. Zudem scheint mir die Klammersetzung nicht korrekt. Mit wächst auch , was zur Folge hat, daß fällt. In der Differenz fällt damit der Subtrahend, womit der Differenzwert steigt. Also ist für streng monoton wachsend. Aus folgt wegen der strengen Monotonie von : Wie geht es nun weiter? EDIT Variablenwirrwarr ausgebessert. |
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| 28.05.2022, 23:19 | Samsara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich x+y 1+|x-y|/(|x-y|) einen Umkehrbruch darstelle, dann sieht das ja so aus |x-y|/(1+|x-y|) am Anfang steht ja |x-y|/(1+|x-y|) . Definitheit und Symmetrie sind ja klar. Dann kommt bei der einen Lösung dieser Umkehrbruch ohne diese Funktion. Und den Umkehrbruch verstehe ich so : |x-y|/(1+|x-y|) dann die Umkehrung 1+|x-y|/(|x-y|). In der Lösung fängt das ja mit der Umkehrung an und die Umkehrung von der Umkehrung ist dann nach meinem Verständnis |x-y|/(1+|x-y|) statt 1/(|x-y|)+1. Ich bin davon ausgegangen, dass irgendwo gekürzt wurde, aber ich weiß nicht wo. |
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| 28.05.2022, 23:23 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weder kann ich die Formel lesen, noch verstehe ich dein Deutsch. "Wenn ich blablabla einen Umkehrbruch darstelle...": Was soll der Sinn sein? |
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| 28.05.2022, 23:25 | Samsara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde sehr gerne auch latex benützen, allerdings ist es mir noch nicht gelungen meine Eingabe in dieses Forum zu kopieren. |
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| 28.05.2022, 23:28 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst den Formeleditor verwenden, solange die Formeln nicht zu kompliziert werden. Im übrigen kannst du auch bei meinen Beiträgen auf "Zitat" klicken, um zu sehen, wie man Formeln schreibt. Statt mathjax kannst du latex nehmen. |
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| 29.05.2022, 07:23 | Samsara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich bei Formeleditor bei der Spalte a1 a2 a3 natürlich alles untereinander für a1 a2 x y eingebe, dann wird das im Formeleditor richtig angezeigt, aber beim kopieren wird dann folgendes genauso angezeigt: (xy) , und das ist ja nun keine Spalte. |
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| 29.05.2022, 10:12 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir sollten hier etwas Ordnung hineinbekommen. Ich habe dir einen Vorschlag gemacht, wie du zum Beweis der Dreiecksungleichung vorgehen könntest. Bei diesem Vorschlag habe ich schon entscheidende Schritte gemacht, du mußt die Sache jetzt nur noch zu Ende bringen. Dann gibt es als zweites einen Ansatz von dir, der bei der zu beweisenden Ungleichung irgendwie über die Kehrwerte geht. Das sagst du aber nicht so, vielmehr reime ich mir das zusammen. Ich könnte mich auch irren. Wenn du diesen zweiten Ansatz verfolgst, solltest du zunächst einmal klar beschreiben, was du vorhast und welchen Weg du dazu einschlagen willst. Wir sollten hier nicht weiter aneinander vorbeireden, sondern uns auf einen der beiden Wege konzentrieren. Ich würde meinen Weg vorziehen, weil da nicht mehr viel zu tun ist. Dann können wir uns deinem Ansatz zuwenden, den du, wie ich bereits sagte, allerdings zunächst gut herausarbeiten mußt. Das letzte Problem betrifft schließlich die Lesbarkeit der Formeln. Dazu habe ich dir in meinem letzten Beitrag bereits Hinweise gegeben. |
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| 29.05.2022, 10:51 | Samsara | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir geht es ganz einfach darum, beide Wege zu begreifen. Ob ich das über diesen Weg hier schaffe, ist noch nicht ganz klar. Darüber nachdenken tue ich onehin fast die ganze Zeit. Onlineportale haben möglicherweise manchmal ihre Grenzen. So kommt es mir zumindest im Moment vor. |
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| 31.05.2022, 13:18 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Ansatz scheint auf folgendes hinauszulaufen: wobei man hier die gewöhnliche Dreiecksungleichung benutzt. Daraus folgt dann |
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