Verteilung

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29.05.2022, 18:50

JolchiYeah

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Verteilung

Leute hier wieder eine Aufgabe wo ich einfach nicht drauf komme
Welche Formel ich anwenden soll böse

Bin beim verzweifeln schon

0,2 könnte ein Lambda sein ? Big Laugh

Wiedermal nicht sicher

29.05.2022, 20:04

klauss

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RE: Verteilung
Ich kann heute nur noch diesen Beitrag zur 6. abliefern, da ich dann weg bin, deswegen können weitere Helfer noch Feinschliff leisten.

Mein Vorgehen:
Die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die die Anzahl reparaturbedürftiger Fahrzeuge beschreibt, ist binomialverteilt mit $\begin{eqnarray*} n=900,~p=0,2 \end{eqnarray*}$ .
In Anbetracht der Umstände verwenden wir aber die Normal-Approximation (Dein Skript sagt nichts darüber, welche Umstände das sind).
Daher kommt JETZT die hierhin verirrte Formel zum Einsatz.
Die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ist standardnormalverteilt, so dass
a.
$\begin{eqnarray*} P(X \geq 200)=1-P(X\leq 199)=1-\Phi\left(\frac{199-np}{\sqrt{np(1-p)} } \right) \end{eqnarray*}$
b.
$\begin{eqnarray*} P(X < 175)=P(X\leq 174)=\Phi\left(\frac{174-np}{\sqrt{np(1-p)} } \right) \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ -Werte sind aus einer Tabelle zur Standardnormalverteilung abzulesen.

Mit Stetigkeitskorrektur wären die Näherungen noch genauer, aber selbst in Oxford scheint man damit heutzutage die Studenten nicht mehr zu behelligen. Big Laugh

29.05.2022, 20:26

JolchiYeah

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Vielleicht kannst du mir oder jemand anderer erklären warum jeweils 1 abgezogen wurde bei beiden ?

Der mit Oxford war gut Big Laugh

29.05.2022, 23:52

mYthos

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Ich sehe nirgends, dass von irgendwo 1 abgezogen wurde.
Kannst du dich bitte genauer ausdrücken?

Bei a) wurde deswegen 1 - P(X) berechnet, weil dies die Gegenwahrscheinlichkeit zu P(X) ist.
Denn die Verteilungsfunktion liefert grundsätzlich immer nur Werte für $\begin{eqnarray*} P(X \leq X_1) \end{eqnarray*}$ .
Daher gilt: $\begin{eqnarray*} P(X \geq X_1) = 1 - P(X \leq X_1) \end{eqnarray*}$
-----------
Bei der Umrechnung der Binomialverteilung in die approximierte Normalverteilung kommen die Beziehungen

$\begin{eqnarray*} \mu = n \cdot p, \ V = \sigma^2 = n \cdot p \cdot(1-p) \text{ und für die Tabelle der Std-NV } \ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

zur Anwendung.
Die Umrechnung ist zulässig für große n UND $\begin{eqnarray*} V \geq 9 \end{eqnarray*}$ .
In diesen Fällen ist auch immer die Stetigkeitskorrektur durchzuführen, ungeachtet dessen, ob dies die Oxfordianer tun oder auch nicht Big Laugh

mY+

30.05.2022, 08:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von JolchiYeah
Vielleicht kannst du mir oder jemand anderer erklären warum jeweils 1 abgezogen wurde bei beiden ?

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist eine Zufallsgröße, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Also z.B. keine Werte echt zwischen 174 und 175, daher ist $\begin{eqnarray*} P(X<175) = P(X\leq 174) \end{eqnarray*}$ . Genauso $\begin{eqnarray*} P(X\geq 200) = 1-P(X<200) = 1-P(X\leq 199) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ keine Werte echt zwischen 199 und 200 annehmen kann.

Zitat:

Original von mYthos
In diesen Fällen ist auch immer die Stetigkeitskorrektur durchzuführen, ungeachtet dessen, ob dies die Oxfordianer tun oder auch nicht

Das kann ich nur unterstreichen. Und das löst auch die Zweifel "soll man nun 174 oder 175 bzw. 199 oder 200 bei der Normalverteilungsapproximation nehmen", denn man nimmt 174,5 bzw. 199,5 .

P.S.: Wenn Oxford in seinem Niveau nachlässt, dann ist das traurig, aber kein Grund dem nachzueifern.

30.05.2022, 19:42

JolchiYeah

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Danke Hal9000 für deine Erklärung

habe es jetzt gerechnet und den Wert direkt von der Tabelle abgelesen ?
Kann man das so machen ?

30.05.2022, 20:59

JolchiYeah

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Lösung soll so sein

Scheint falsch zu sein bei mir böse

Woher kommt diese 180 her ? Big Laugh

30.05.2022, 21:53

mYthos

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180 = n*p = 900*0.2
Z ist mit dieser Rechnung bei X = 199 gleich 18/12 = 1.5833
So ist es aber zu ungenau, wie im Folgenden gezeigt
----------

In der Musterlösung wird mit 200 und 175 gerechnet, anstatt mit 199.5 und 175.5
Die Musterlösung ist in dieser Hinsicht schlichtweg falsch, denn der Autor hat NICHT mit der Stetigkeitskorrektur* gerechnet!

Zum Vergleich:
Die exakte Berechnung mit der Formel der Binomialverteilung (CAS!) liefert p = 0,0535 (mit 200) und 0.3565 (mit 175)

Die Approximation mittels NV und Fehlerkorrektur, also mit 199.5 und 175.5 gerechnet, liefert 0.0521 und 0.3538

Wie zu sehen ist, liegt jetzt die Approximation sehr gut.

Bei der Tabelle solltest du also mit Z = (199.5 - 180)/12 = 1.625 rechnen, dann kriegst du auch den richtigen p-Wert!

(*) Hinweis zur Stetigkeitskorrektur: Von der unteren Grenze eines Intervalls wird 0.5 abgezogen, zu der obere Grenze 0.5 addiert.

Hier ist also bei P(X >= 200) mit 200 - 0.5 = 199.5 und bei P(X <= 175) mit 175 + 0.5 = 175.5 zu rechnen.

mY+

30.05.2022, 23:03

JolchiYeah

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Um die Varianz auszurechnen wurde 900 *0,2 *0,8 gerechnet unter der Wurzel?

Woher kommt den 0,8 her ?

hat sich erledigt (1-p) = 0.2

30.05.2022, 23:35

JolchiYeah

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Nur so ne Nebenfrage

Woher wusste man eigentlich ,dass man jetzt genau die Formel nutzen muss? Big Laugh

Das empfinde ich als sehr schwer an den Aufgaben
Drauf zu kommen welche Formel man wann braucht

30.05.2022, 23:38

mYthos

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Zitat:

Original von JolchiYeah
...
hat sich erledigt (1-p) = 0.2

Eben nicht.
p = 0.2, 1-p = 0.8
------------

Hast du die im vorigen Beitrag erwähnten Dinge verstanden und auch umsetzen können?

30.05.2022, 23:58

JolchiYeah

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Ja komme zu dem Ergebnis in der Musterlösung
Der Weg von der Musterlösung ist eigentlich nicht so schwer Big Laugh

Aber auf die richtige Formel kommen

31.05.2022, 00:11

mYthos

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Zitat:

Original von JolchiYeah
...
Woher wusste man eigentlich ,dass man jetzt genau die Formel nutzen muss? Big Laugh

...
Drauf zu kommen welche Formel man wann braucht

Das sollte eigentlich - bei einem guten und pädagogisch versierten Aufgabensteller - zum Teil schon aus dem Aufgabentext hervorgehen.
Wenn schon der Text kryptisch oder das Ziel der Aufgabe nicht klar formuliert ist, wird's mühsam.

In der vorliegenden Angabe ist von Stückzahlen von Automobilen die Rede.
Und ob sie ein Service benötigen oder nicht (Erfolg --> Erfolgswahrscheinlichkeit p / Misserfolg --> Gegenwahrscheinlichkeit 1-p).
Und Zufallsvariable, die im Bereich der ganzen Zahlen liegen, bedingen eine diskrete Verteilung.
Das alles wird von einer Binomialverteilung abgedeckt.

Binomialverteilungen mit hohen Stückzahlen lassen sich manuell kaum zufriedenstellend berechnen, daher wird hierfür ein CAS benötigt.
Andernfalls rechnet man mittels der Approximation durch die Normalverteilung. Mit dieser kann man wesentlich leichter rechnen..
Steht kein CAS zur Verfügung, ist die PHI(Z) - Tabelle der Standard-Normalverteilung eine Hilfe.

Die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung, d.h. die Zufallsvariable X kann aus der Menge der reellen Zahlen stammen.
Die Dichtefunktion ist die Glockenkurve, deren Integralfunktion die Verteilungsfunktion.

mY+

31.05.2022, 00:16

mYthos

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Zitat:

Original von JolchiYeah
Ja komme zu dem Ergebnis in der Musterlösung
Der Weg von der Musterlösung ist eigentlich nicht so schwer Big Laugh

...

Du hast aber schon gelesen, dass die Musterlösung infolge der fehlenden Stetigkeitskorrektur nicht richtig ist?
Die Rechnung wäre also damit zu wiederholen.

mY+

31.05.2022, 08:51

HAL 9000

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Sagen wir es so: Richtig ist die Rechnung eigentlich nur mit der originären Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B(900,0.2) \end{eqnarray*}$ . Wenn man aber stattdessen mit der approximierenden Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}\left(180,12^2\right) \end{eqnarray*}$ rechnet, dann ist der Approximationsfehler bei Nutzung der Stetigkeitskorrektur deutlich geringer als bei deren Missachtung. Ich habe das an vielen Beispielen nachgerechnet:

Laplace-Moivre Aufgabe
Zentraler Grenzwertsatz
Zentraler Grenzwertsatz

31.05.2022, 10:57

JolchiYeah

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Zitat:

Original von HAL 9000
Sagen wir es so: Richtig ist die Rechnung eigentlich nur mit der originären Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} B(900,0.2) \end{eqnarray*}$ . Wenn man aber stattdessen mit der approximierenden Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}\left(180,12^2\right) \end{eqnarray*}$ rechnet, dann ist der Approximationsfehler bei Nutzung der Stetigkeitskorrektur deutlich geringer als bei deren Missachtung. Ich habe das an vielen Beispielen nachgerechnet:

Laplace-Moivre Aufgabe
Zentraler Grenzwertsatz
Zentraler Grenzwertsatz

31.05.2022, 11:13

HAL 9000

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Du kannst das gern komisch finden, aber Hauptsache du denkst auch drüber nach.

31.05.2022, 12:36

JolchiBaby

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Zitat:

Original von mYthos
....
Das sollte eigentlich - bei einem guten und pädagogisch versierten Aufgabensteller - zum Teil schon aus dem Aufgabentext hervorgehen.
Wenn schon der Text kryptisch oder das Ziel der Aufgabe nicht klar formuliert ist, wird's mühsam.
..
In der vorliegenden Angabe ist von Stückzahlen von Automobilen die Rede.
Und ob sie ein Service benötigen oder nicht (Erfolg --> Erfolgswahrscheinlichkeit p / Misserfolg --> Gegenwahrscheinlichkeit 1-p).
Und Zufallsvariable, die im Bereich der ganzen Zahlen liegen, bedingen eine diskrete Verteilung.
Das alles wird von einer Binomialverteilung abgedeckt.
...
mY+

Edit (mY+): Teile des Vollzitates entfernt.

Danke

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