Grenzwert mit Landau-Symbolen

29.05.2022, 21:03	Nub-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit Landau-Symbolen Hey Leute! ich habe folgendes Problem: Der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^4} - 1}{(\cos(x) - 1)^2} \end{eqnarray}$ mit Landau Symbolen berechnen. Habs bereits mit L'Hopital ausgerechnet und es sollte (falls ich mich nicht verrechnet habe) 4 rauskommen. Die Landau Symbole habe ich denke ich verstanden, nur komme ich damit nicht auf den Grenzwert. Hab mit der Potenzreihenentwicklung vom Kosinus und der Exponentialreihe gearbeitet bspws: $\begin{eqnarray} e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + O(x^4) \end{eqnarray}$ und die Potenzreihen bei an verschiedenen Stellen durch O(x) abgeschätzt. Komme aber nicht wirklich auf eine Lösung. Für Tipps wäre ich sehr dankbar!
29.05.2022, 21:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^z = 1+z+O(z^2) \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} e^{x^4} = 1+x^4 + O(x^8) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} (\cos(x)-1)^2 = \frac{x^4}{4} + O(x^6) \end{eqnarray}$ . Führt insgesamt zu $\begin{eqnarray} \frac{e^{x^4}-1}{(\cos(x)-1)^2} = \frac{x^4 + O(x^8)}{\frac{x^4}{4} + O(x^6)} = \frac{1 + O(x^4)}{\frac{1}{4} + O(x^2)} = 4 + O(x^2)\to 4 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\to 0 \end{eqnarray}$ .
29.05.2022, 22:17	Nub-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ha das klingt doch sinnvoll und gar nicht so schwer. Vielen Dank!

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