Seitenmitten bilden Parallelogramm

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30.05.2022, 12:59

Malcang

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Seitenmitten bilden Parallelogramm

Guten Tag

ich habe die folgende Aufgabe:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} abcd \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Viereck. Zeigen Sie, daß die vier Seitenmitten die Ecken eines Parallelogramms bilden und zwar
a) mit Hilfe der Vektorrechnung,
b) ohne Hilfe der Vektorrechnung.

Dazu meine Skizze:
[attach]55226[/attach]

Die Punkte $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ betrachten wir in der Vorlesung als Ortsvektoren. GeoGebra schreibt Punkte automatisch groß, ich habe das nun einfach mal übernommen.

Meine Idee für a) ist zu zeigen, dass eine Normale zur Strecke $\begin{eqnarray*} GH \end{eqnarray*}$ auch Normale zu $\begin{eqnarray*} EF \end{eqnarray*}$ ist. Analog das Ganze dann für die beiden anderen Seiten.

Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Normale zu $\begin{eqnarray*} GH \end{eqnarray*}$ . Dann ist (von eventuell negativem Vorzeichen abgesehen) $\begin{eqnarray*} 0 = \langle n, g-h \rangle = \langle n, \frac{1}{2}(c+d)-\frac{1}{2}(d+a) \rangle= \langle n,\frac{1}{2}(c-a) \rangle = \langle n, \frac{1}{2}(c+b)-\frac{1}{2}(a+b)\rangle = \langle n, f-e\rangle \end{eqnarray*}$

Damit sind je zwei der "Mittenseiten" parallel.

Genügt das so?

b) ist also der Satz von Varignon. Ok, den Beweis verstehe ich auch. Allerdings hatten wir in der Vorlesung nichts, dass ich hier mit den im Link genannten >>Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung<< in Verbindung bringe. Mir fehlt also gerade ein elementargeometrisches Argument, warum die Seiten (in meiner Skizze) AC und FE parallel sind verwirrt

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

30.05.2022, 14:30

mYthos

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AC parallel EF wegen Strahlensatz mit Zentrum B, E und F sind jeweils die Halbierungspunkte.
Wie erklärt sich die Lage der schwarz gefärbten Geraden? Das kann/soll doch ebenso gut die Diagonale BD sein.

mY+

30.05.2022, 14:44

Malcang

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Zitat:

Original von mYthos
Wie erklärt sich die Lage der schwarz gefärbten Geraden? Das kann/soll doch ebenso gut die Diagonale BD sein.

Oh, ich hatte das beim Bearbeiten nicht mehr reingeschrieben. Dies ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\begin{eqnarray*} GH \end{eqnarray*}$ . Für meinen Beweis zu a) ist sie eigentlich gar nicht mehr notwendig, da tut es ja jede Senkrechte.

30.05.2022, 14:49

HAL 9000

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Ergänzend zu mYthos' Ausführungen: Einfach mal zur besseren Veranschaulichung die Diagonalen des Vierecks ABCD einzeichnen, dann sollte man die beiden Tripel paralleler Geraden eigentlich "sehen".

30.05.2022, 14:56

Malcang

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Der Hinweis mit dem Strahlensatz führte zum Ziel:

$\begin{eqnarray*} \frac{|BF|}{|BC|} = \frac{|BE|}{|BA|} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nach Konstruktion. Da der erste Strahlensatz umkehrbar ist, sind die Strecken $\begin{eqnarray*} EF \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} CA \end{eqnarray*}$ parallel.

@HAL 9000:
Ja, ich sehe die von dir genannten Tripel. Ich muss aber zugeben, dass mir die elementargeometrischen Dinge doch viel schwerer fallen, als ich gedacht hätte.

30.05.2022, 15:06

mYthos

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So:

[attach]55227[/attach]

mY+

30.05.2022, 15:20

Malcang

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Zitat:

Original von mYthos
So:

[attach]55227[/attach]

mY+

Ich glaube, genau diese Skizze kann mir bei Aufgabe helfen geschockt

Die werde ich auch gleich mal posten, aber dann in einen neuen Thread.

Vielen Dank für eure Hilfe! Freude

30.05.2022, 16:17

mYthos

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Hier noch die Skizze vollständig mit allen Halbierungspunkten und dem Parallelogramm eingezeichnet.

[attach]55230[/attach]

Jetzt sieht man, dass der Strahlensatz von allen 4 Ecken aus anzuwenden ist.
Und: Die Seiten des Parallelogrammes halbieren die Diagonalenabschnitte.

mY+

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