Anwendung Strahlensatz

30.05.2022, 15:57

Malcang

Anwendung Strahlensatz

Hallo nochmal,

nun schaue ich bei dieser Aufgabe:

[attach]55228[/attach]

Da es eine Univorlesung ist, werden hier Kleinbuchstaben benutzt, auch wenn hier gerade nicht nach Vektorrechnung gefragt ist. Ich werde Trotzdem Großbuchstaben für die Punkte nutzen.

Meine Skizze:
[attach]55229[/attach]

Ich weiß nicht, wo ich einsteigen soll. Ich habe mit Anwendung der Strahlensätze gezeigt, dass das Vieleck $\begin{eqnarray*} A,B,C,D \end{eqnarray*}$ ein Parallelogramm ist, aber durch Konstruktion von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ war das eigentlich überflüssig.

Zu zeigen ist ja nun, dass $\begin{eqnarray*} |AE| = |EF| = |FD| \end{eqnarray*}$ gilt.
Aber ich sehe nicht, wo ich hier sinnigerweise ansetze verwirrt

Edit:
Zu a) habe ich nun eine Idee. Ich bin mir leider nicht sicher, ob die Strecken $\begin{eqnarray*} B'B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E'C \end{eqnarray*}$ bereits nach Konstruktion parallel sind. Es erschließt sich mir nicht ganz.
Aber wenn (und sie sind es), dann folgt
$\begin{eqnarray*} \frac{|DF|}{|FE|} = \frac{|DE'|}{|E'B|}=1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{|AE|}{|EF|} = \frac{|AB'|}{|B'C|}=1 \end{eqnarray*}$ ,
womit a) bereits gezeigt ist.
Nun frage ich mich gerade also noch, wie ich die Parallelität begründe.

Nochmal Edit:
Ich drehe das Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} 180° \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Dann erhalte ich das Dreieck $\begin{eqnarray*} BCD \end{eqnarray*}$ und damit sind die oben genannten Strecken parallel.

Genügt das so?

30.05.2022, 17:07

mYthos

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Wegen der Drehung um 180° ( = Punktspiegelung um M) ist CD parallel zu AB und daher ABCD ein Parallelogramm.
B'E' ist ebenfalls eine Parallele zu AB und CD.
Nun geht es im Folgenden lediglich um die Schwerpunktseigenschaften*, welche eigentlich bekannt sind und keines Beweises mehr bedürfen!
E ist der Schwerpunkt des Dreieckes ABC und F jener des Dreieckes BCD.
Wegen der Eigenschaften der Punktspiegelung gilt EM = MF und die Strecken AE, EF und FD sind gleich lang.
Damit ist eigentlich alles gesagt.

(*) Die Seitenhalbierenden schneiden einander im Schwerpunkt und dieser teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1
-------
Der Beweis letzteren Satzes kann gesondert - getrennt von der Aufgabe - erfolgen.

[attach]55232[/attach]

mY+

30.05.2022, 18:06

Malcang

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Das ist der Schwerpunkt Hammer

Na klar, damit löst sich die Aufgabe wirklich fast von allein!

Vielen Dank mYthos! Freude

31.05.2022, 12:18

Malcang

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Eine Frage hätte ich noch:
Ich muss ja noch begründen, dass $\begin{eqnarray*} |AE| = 2|EM| \end{eqnarray*}$ ist, und nicht $\begin{eqnarray*} 2|AE| = |EM| \end{eqnarray*}$ . Wahrscheinlich denke ich wieder zu kompliziert, aber meine Versuche mittels Höhen und Mittelsenkrechten scheiterten leider verwirrt

Außerdem wundere ich mich jetzt doch wieder über die Aufgabenteile b und c. Denn das, was da zu zeigen ist, habe ich ja in Aufgabenteil a bereits angewendet.
Wahrscheinlich läuft das auf den Strahlensatz raus, da der aktuell Thema ist. Aber ich sehe es leider wieder mal nicht und das ärgert mich gerade echt.

31.05.2022, 15:22

mYthos

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Zitat:

Original von Malcang
...
Ich muss ja noch begründen, dass $\begin{eqnarray*} |AE| = 2|EM| \end{eqnarray*}$ ist, und nicht $\begin{eqnarray*} 2|AE| = |EM| \end{eqnarray*}$ .....

Das folgt aus der schon zuvor besprochenen Eigenschaft des Schwerpunktes.
Denn E ist der Schwerpunkt des Dreieckes ABC.
Der Beweis für den Schwerpunkt wurde dir auch schon gezeigt.

mY+

31.05.2022, 16:10

Malcang

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Danke sehr. Das es der Schwerpunkt ist, verstehe ich.
Auch das Verhältnis ist mir aus der Eulergeraden bekannt. Ich merke gerade, dass ich es noch nicht 100 pro verstanden habe. Aber ich schaue nochmal in meine Unterlagen und sage hier nochmal Danke für alle Hilfe und an alle Helfer Augenzwinkern

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