Nachweis von Raum von Matrizen als Liegruppe

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Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis von Raum von Matrizen als Liegruppe
Moin,

ich soll auf meinem aktuellen Übungsblatt Untersuchen, ob
1)
2)

Lie-Gruppen sind sowie die Dimension der Lie-Gruppen angeben. Dazu muss man zeigen, dass die Matrixmultiplikation und die Inverse glatte Abbildungen sind.
Ich tue mir bei "Matrizenmannigfaltigkeiten" etwas schwer. Mein erster Ansatz wäre es, die Matrixmultiplikation auf die komponentenweise Berechnung runterzubrechen. Die Komponentenfunktionen sind dann hoffentlich schnell nachweisbar glatt und daraus folgend dann auch die "Gesamtmultiplikation".

Wie sieht es bei der Inversen aus? Hier könnte man die Cramersche Regel zur komponentenweisen Berechnung der Elemente inversen Matrix nutzen. Diese sind dann als a_ij = det(A_i)_j/det(A) gegeben. Hier würde die Determinante als glatte Funktion auftauchen und Multiplikation mit 1/det(A) müsste auch glatt sein. Insgesamt als Verkettung glatter FUnktionen glatt und dann hoffentlich analog zur Multiplikation glatt, da die Komponenten glatt sind?!

Zur Dimension müsste ich vermutlich einen Satz nutzen, welcher (glatte Untermannigfaltigkeiten via Niveaumengen von glatten Funktionen definiert.

Vielleicht hätte ja jemand zumindest eine Anregung für die Glattheit von Multiplikation und der Inversen.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1). Die ist ja das Urbild bezüglich



Also berechnen und die Voraussetzung für den Satz vom regulären Wert oder den Satz vom konstanten Rang nachweisen.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

dann weiß ich aber nur, dass es sich um eine (glatte) Untermannigfaltigkeit handelt. Das liefert nicht die Glattheit von Multiplikation und der Inversen, oder?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Im ersten Fall ist das mit der Inversen doch trivial, weil und die Abbildung sogar linear ist.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Jein, ich tue mir noch etwas schwer auf Grund des Nachweises der Glattheit von
mit Kartenabbildungen x,y um einen Punkt p von O(n).
Natürlicherweise wären die Karten dann Abbildungen zwischen Umgebungen von R^{n^2} und Umgebungen von O(n), z.B. gegeben eine Matrix (a_ij), so könnte man (a_11,...a_1j,a_21,...) abbilden um eine Karte zu basteln.
Die Transposition oben lässt sich dann offenbar als lineare Abbildungen zwischen Vektoren aus R^{n^2} schreiben und wäre damit glatt. Mhh, ok, war doch einfacher als gedacht wenn das so passt. Danke, bei der Multiplikation müsste es analog gehen, man hat einfach Polynomfunktionen in den Komponenten der zugehörigen Koordinaten in R^{n^2}
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_
Zu 1). Die ist ja das Urbild bezüglich



Also berechnen und die Voraussetzung für den Satz vom regulären Wert oder den Satz vom konstanten Rang nachweisen.


Ich rechne daran gerade rum. Kurze Frage:
Es sollte ja

sein mit Kartenabbildungen x,y, oder?
D.h. die Jacobimatrix von f nach Verkettung mit den Kartenabbildungen.
 
 
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Karten sind hier nicht erforderlich. Man kann schlicht in die Definition einsetzen. Mit der Parametergerade



gilt




und



Man gelangt zu



Das Ergebnis ist also immer eine symmetrische Matrix, denn macht jede Matrix symmetrisch. Der Satz vom regulären Wert wäre also nicht direkt anzuwenden, weil nicht surjektiv ist.

Weil nun aber nach Voraussetzung bijektiv ist, ist auch bzw. bijektiv. Es genügt also zu zeigen, dass konstanten Rang hat.(Ähm, dies gilt per se, weil die nicht von abhängt.) Siehe dazu die Untersuchung des Vektorraums der symmetrischen Matrizen in den Grundlagen der linearen Algebra.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Streng genommen muss man noch nachweisen. Dazu die Stetigkeit von det betrachten. Also wenn gilt und hinreichend klein ist, weicht für jedes beliebige so wenig von ab, dass auch gilt. Zur genauen Quantifizierung der Abweichung den Matrizenraum mit einer Matrixnorm ausgestattet betrachten.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, stimmt, dass passt zur Definition des Differentials. Mist, ok, danke sehr!
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