Strahlensatz am Kreis

30.05.2022, 18:15

Malcang

Strahlensatz am Kreis

Und da bin ich wieder an diesem für mich sehr produktiven Tag Augenzwinkern

Ich habe nun noch folgende Aufgabe:
[attach]55241[/attach]

Ich habe aber die Gleichheit der Winkel festgestellt. Nur wie zeige ich diese?
[attach]55243[/attach]

An die Moderatoren: Sorry dass es hier so ein Durcheinander mit den Dateianhängen gab. Ich habe daher den Beitrag direkt neu strukturiert. Hoffe das ist ok.

30.05.2022, 19:28

mYthos

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Zu allererst, deine Skizze stimmt nicht (die Punkte sind falsch bezeichnet).
EDIT: Das wurde jetzt berichtigt und ist OK

Zum anderen komme ich gleich, bin noch unterwegs.
-------------------
Berichtige zunächst deine Skizze.
Der Beweis funktioniert diesmal nicht mittels Strahlensatz, sondern mittels des Satzes über Umfangswinkel (Peripheriewinkelsatz) und Ähnlichkeit.

- Die Winkel APS und ARQ sind gleich, weil deren Scheitel auf dem kreis über der gemeinsamen Sehne QS liegen.
- Die Dreiecke AQR und Dreieck ASP sind ähnlich
- AQ : AR = AS : AP

Was folgt daraus?

(Ich schließe dir die entsprechende Skizze dann noch bei)

mY+

30.05.2022, 19:55

Malcang

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Zitat:

Original von mYthos

- AQ : AR = AS : AP

Woher kommt das? verwirrt

Den Rest sehe ich ein.

30.05.2022, 20:01

mYthos

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Das ist allgemein ein Gesetz bei ähnlichen Figuren und dies gilt hier eben auch bei Dreiecken:
-->
In ähnlichen Dreiecken ist das Verhältnis entsprechender Seiten gleich.
(Hier wurde das Verhältnis der beiden dem gleichen Winkel anliegenden kurze zu langer Seite genommen)

[attach]55247[/attach]

mY+

30.05.2022, 20:16

HAL 9000

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Anmerkung: 3b) ist unter dem Namen Sekantensatz bekannt.

30.05.2022, 20:24

Malcang

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Zitat:

Original von mYthos
Das ist allgemein ein Gesetz bei ähnlichen Figuren und dies gilt hier eben auch bei Dreiecken:
-->
In ähnlichen Dreiecken ist das Verhältnis entsprechender Seiten gleich.
(Hier wurde das Verhältnis der beiden dem gleichen Winkel anliegenden kurze zu langer Seite genommen)

mY+

Ich bin jetzt etwas irritiert. Denn diese Beziehung ist ja genau die, die in b) zu zeigen ist verwirrt

@HAL 9000: Ja, unter diesem Namen hatten wir das schon vorher in der Vorlesung smile

30.05.2022, 20:32

mYthos

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(a) bedingt (b)!
Infolge der Ähnlichkeit resultiert doch daraus der Sekantensatz, es wurde einfach die Proportion umgestellt.

mY+

30.05.2022, 20:37

Malcang

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Ja das sehe ich ein. Ich wundere mich nur, dass ich diese Identität in a) nutze, die ich in b) "zeigen" soll.

Aber mir fehlt auch noch der Schluss in a) auf die Ähnlichkeit der gefragten Dreieck unglücklich

30.05.2022, 20:43

mYthos

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So ist es nicht.
In a) ist die Proportion zu zeigen, welche sich ausschließlich aus der Ähnlichkeit ergibt.
(Die Ähnlichkeit wird mittels des Peripheriewinkelsatzes bewiesen)
In b) ergibt sich der Sekantensatz aus der Umstellung der Proportion in a)

[attach]55247[/attach]

Zitat:

(Hier wurde das Verhältnis der beiden dem gleichen Winkel anliegenden kurze zu langer Seite genommen)

mY+

30.05.2022, 20:57

Malcang

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Vielleicht fehlt mir einfach frische Luft, aber ich komme einfach nicht auf die zu zeigende Eigenschaft in a). Ich verliere auch so schnell den Überblick bei diesen Dingen unglücklich

31.05.2022, 01:22

mYthos

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Die Tatsache der Ähnlichkeit lässt sich leicht zeigen:
In den beiden Dreiecken sind zwei Winkel (und damit auch der dritte) gleich.
Der (gemeinsame) Winkel beim Punkt A und jeweils der gleiche Winkel bei P und R (auf der Kreisperipherie)

Dann, bei der Bildung des Verhältnisses, musst du nur schauen, dass du die richtigen Seiten nimmst.
Es ist das Verhältnis der beiden dem gleichen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bei A anliegenden Seiten zu nehmen.
Kürzere Seite zu längerer Seite, oder umgekehrt, jedenfalls muss das in beiden Dreiecken gleich bleiben, nichts versehentlich vertauschen!

--> AQ : AR = AS : AP

Löse die Proportion auf und du hast den Sekantensatz.

mY+

31.05.2022, 07:22

Leopold

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Viele Beweise mit ähnlichen Dreiecken kann man folgendermaßen aufbauen.

Man hat zwei Dreiecke $\begin{align*} ABC \end{align*}$ und $\begin{align*} A'B'C' \end{align*}$ mit den den Punkten $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} A',B',C' \end{align*}$ gegenüberliegenden Seiten(längen) $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} a',b',c' \end{align*}$ .

1. Mit Hilfe von Winkelgesetzen gelingt es einem nachzuweisen, daß beide Dreiecke dieselben Winkel $\begin{align*} \alpha,\beta,\gamma \end{align*}$ bei $\begin{align*} A,B,C \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} A',B',C' \end{align*}$ besitzen. Damit sind sie ähnlich.

2. Für beide Dreiecke schreibt man nun die dem jeweiligen Winkel gegenüberliegende Seite in einer Tabelle auf. Das sieht dann so aus:

$\begin{align*} \begin{matrix} & \alpha & \beta & \gamma \\ ABC & a & b & c \\ A'B'C' & a' & b' & c' \end{matrix} \end{align*}$

3. Nun kann man in dieser Tabelle zeilen- oder spaltenweise entsprechende Verhältnisgleichungen aufstellen. Alle sind korrekt. Zum Beispiel;

$\begin{align*} \frac{a}{a'} = \frac{c}{c'} \, , \ \ \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} \, , \ \ \frac{b}{a} = \frac{b'}{a'} \end{align*}$

In der konkreten Aufgabe läuft das folgendermaßen ab. Ich übernehme die alternativen Bezeichnungsweisen der Vorlesung.

Man betrachtet die Dreiecke $\begin{align*} aps \end{align*}$ und $\begin{align*} arq \end{align*}$ .

1.
a) Den Winkel $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ bei $\begin{align*} a \end{align*}$ haben $\begin{align*} aps \end{align*}$ und $\begin{align*} arq \end{align*}$ gemeinsam.
b) Die Winkel bei $\begin{align*} p \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} r \end{align*}$ haben dieselbe Größe $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ (denn sie sind Umfangswinkel über der Sehne $\begin{align*} qs \end{align*}$ ).
c) Wegen der Winkelsumme im Dreieck müssen nun auch die Winkel $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ bei $\begin{align*} s \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} q \end{align*}$ übereinstimmen.

2. Man erhält die folgende Tabelle:

$\begin{align*} \begin{matrix} & \varphi & \alpha & \varepsilon \\ aps & \overline{ps} & \overline{as} & \overline{ap} \\ arq & \overline{qr} & \overline{aq} & \overline{ar} \end{matrix} \end{align*}$

3.
Es gilt nun zum Beispiel $\begin{align*} \frac{\overline{ps}}{\overline{qr}} = \frac{\overline{as}}{\overline{aq}} \end{align*}$ .
Bei dieser Aufgabe ist man jedoch an einem anderen Verhältnis interessiert.

31.05.2022, 13:19

Malcang

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Also ich danke euch zwar vielmals für die Mühen die ihr euch hier macht, aber ich habe nur die Ähnlichkeit der Dreieck aps und aqr gezeigt. Weiter weiß ich wirklich nicht.

b) konnte ich nun aber mit dem Sinussatz lösen, das deckt sich dann wieder mit unserem Stand der Vorlesung.

31.05.2022, 13:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
aber ich habe nur die Ähnlichkeit der Dreieck aps und aqr gezeigt.

Na daraus folgt doch sofort die andere Ähnlichkeit:

Aus $\begin{eqnarray*} \triangle APS\sim \triangle ARQ \end{eqnarray*}$ folgt insbesondere $\begin{eqnarray*} \frac{|AP|}{|AS|} = \frac{|AR|}{|AQ|} \end{eqnarray*}$ , was umgestellt werden kann zu $\begin{eqnarray*} \frac{|AP|}{|AR|} = \frac{|AS|}{|AQ|} \end{eqnarray*}$ . Mit dem gemeinsamen Winkel bei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bedeutet das nach Ähnlichkeitssatz SWS sofort $\begin{eqnarray*} \triangle ARP\sim \triangle AQS \end{eqnarray*}$ .

31.05.2022, 13:40

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Malcang
aber ich habe nur die Ähnlichkeit der Dreieck aps und aqr gezeigt.

Ah ok, vielen Dank HAL 9000, das habe ich zumindest verstanden und das ist erstmal die Hauptsache.
Ich fürchte nur, dass wir diese Proportionen und die Folgerungen in der Vorlesung nicht behandelt haben. Allerdings ist diese Vorlesung sehr schwammig, es werden viele Sachen benutzt, die man "mal in der Schule gelernt hat". Das finde ich nicht passend. Aber hauptsache, ich habe hier etwas gelernt.

31.05.2022, 15:27

mYthos

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In der Tat gehören - für das Hochschulniveau - die in den vorigen Abschnitten besprochenen Dinge zum Standard-Kenntnisstand.

mY+

31.05.2022, 15:41

Leopold

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Im übrigen kann die Ähnlichkeit von $\begin{align*} aqs \end{align*}$ und $\begin{align*} arp \end{align*}$ auch mittels Winkelgesetzen erkannt werden.

a) Beide Dreiecke haben bei $\begin{align*} a \end{align*}$ einen gemeinsamen Winkel $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ .

b) Jetzt nehmen wir im Dreieck $\begin{align*} arp \end{align*}$ den Winkel $\begin{align*} \delta \end{align*}$ bei $\begin{align*} r \end{align*}$ in den Blick. Im Sehnenviereck $\begin{align*} rsqp \end{align*}$ ergeben der Winkel bei $\begin{align*} q \end{align*}$ und $\begin{align*} \delta \end{align*}$ zusammen einen gestreckten Winkel. Nach dem Nebenwinkelgesetz hat im Dreieck $\begin{align*} aqs \end{align*}$ der Winkel bei $\begin{align*} q \end{align*}$ dann auch die Größe $\begin{align*} \delta \end{align*}$ .

Damit ist die Ähnlichkeit von $\begin{align*} aqs \end{align*}$ und $\begin{align*} arp \end{align*}$ nachgewiesen. Nennen wir den dritten Winkel in den beiden Dreieck $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ , so ergibt sich die folgende Tabelle

$\begin{align*} \begin{matrix} & \varphi & \delta & \gamma \\ aqs & \overline{qs} & \overline{as} & \overline{aq} \\ arp &\overline{pr} & \overline{ap} & \overline{ar} \end{matrix} \end{align*}$

Aus dieser Tabelle kann man ebenso die Gleichung des Sekantensatzes gewinnen wie aus der Tabelle in meinem vorigen Beitrag.

31.05.2022, 15:45

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
In der Tat gehören - für das Hochschulniveau - die in den vorigen Abschnitten besprochenen Dinge zum Standard-Kenntnisstand.

mY+

Ach, mYthos! Hätte ich vor Jahrzehnten mein Abitur gemacht und dann nie mehr eine Schule von innen gesehen, würde ich das vielleicht auch glauben. Du ahnst aber kaum, auf welch erschrecklichem Niveau wir heute angekommen sind. Vielleicht ist es in Österreich noch eine Spur besser. Das weiß ich aber nicht, da ich die dortigen Verhältnisse nicht gut genug kenne. Tendenziell dürfte es aber ähnlich aussehen.

31.05.2022, 16:11

Malcang

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Danke für eure weiteren Antworten. Ich bin grade im Zug und kann daher nicht konzentriert aufschreiben. Das hole ich aber nach und gehe nun wirklich davon aus, zum Ziel zu kommen.

Vielen Vielen an euch alle smile

22.06.2022, 12:31

Malcang

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Malcang
aber ich habe nur die Ähnlichkeit der Dreieck aps und aqr gezeigt.

Entschuldigung bitte, wenn ich das hier nochmal ausgraben muss. Aber ich hänge immernoch an einer Sache.
Du sagst, nach SWS folgt die Ähnlichkeit. Das beide Dreiecke den gemeinsamen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ haben, ist mir natürlich klar.
Nun gilt doch $\begin{eqnarray*} |ap| = x\cdot |aq| \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$ .
Ich hätte jetzt erwartet, dass ich diesen Faktor bestimme und zeige, dass ebenfalls $\begin{eqnarray*} |ar| = x\cdot |as| \end{eqnarray*}$ gilt.

Bin ich jetzt hier völlig auf dem falschen Dampfer?

22.06.2022, 12:51

HAL 9000

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Du bist auf dem falschen Dampfer, d.h., du setzt die falschen Seiten ins Verhältnis: Ich habe $\begin{eqnarray*} \triangle ARP\sim \triangle AQS \end{eqnarray*}$ geschrieben und meine das auch so - das ist NICHT DASSELBE wie $\begin{eqnarray*} \triangle APR\sim \triangle AQS \end{eqnarray*}$ , die Reihenfolge der Punkte ist essentiell in dieser Ähnlichkeitsangabe!!!

22.06.2022, 13:05

Malcang

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HAL 9000, genau das war mein Fehler Hammer

Vielen Dank Freude

29.06.2022, 17:12

Malcang

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Zitat:

Original von Leopold
Im übrigen kann die Ähnlichkeit von $\begin{align*} aqs \end{align*}$ und $\begin{align*} arp \end{align*}$ auch mittels Winkelgesetzen erkannt werden.

Im Sehnenviereck $\begin{align*} rsqp \end{align*}$ ergeben der Winkel bei $\begin{align*} q \end{align*}$ und $\begin{align*} \delta \end{align*}$ zusammen einen gestreckten Winkel.

Wenn ich das noch verstehen würde, hätte ich das komplette Argument verstanden.
Leopold, hilfst du mir da nochmal auf die Sprünge?

Edit: Hab's raus. Ich bedanke mich vielmals bei allen, die sich die Mühe machen und mir helfen Freude

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