Grenzwert der Reihe herleiten

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MathNoob1 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert der Reihe herleiten
Meine Frage:
Hallo !

Folgendes Problem :

Ich möchte den Grenzwert herleiten.



Meine Ideen:
Bei anderen Reihen habe ich relativ leicht die rechte Seite derart umformen können, dass sich in der Partialsummendartsellung bis unendlich, Summanden beispielsweise gegenseitig aufheben und ich den Grenzwert anschließend leicht ermitteln konnte.

Bei der oben genannten Reihe stehe ich allerdings etwas auf dem Schlauch!

Meine Idee wäre die rechte Seite umzuformen, sodass man aus


den Grenzwert (1,5) errechnen kann.


Kann mir jemand weiterhelfen ?
Danke
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es gerade mal mit Isolation probiert und das führt auch zum Ziel. Allerdings braucht man dafür einiges an (eventuell vorher durchgeführter) Rechnerei.

Es sei .
Dann ist , da ist.
Indexshift liefert nun .

Nun kannst du ausklammern und erhälst drei Teilreihen, einmal wieder . Achtung bei dem Vorfaktor .

Ist dir das Vorgehen klar? Sonst fragen!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder so: Für sowie kann man



nachweisen (etwa durch Vollständige Induktion über ). Nun ist , es folgt

.

Und das nun für .
MathNoob1 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert der Reihe herleiten
Danke für die schnelle Antwort !

Ich werde es probieren und versuchen nachzuvollziehen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So geht es auch. Für kann man rechnen:



Einmal differenzieren:



und mit multiplizieren:



Ein zweites Mal differenzieren:



und mit multiplizieren:



(Links wurde für der Summand 0 dazugenommen.)

Jetzt und addieren:



Zu guter Letzt noch einsetzen.
MathNoob1 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert der Reihe herleiten
Hallo Leopold,

hat die erste Gleichung einen Namen oder einen dazugehörigen Satz ?

Darf nicht alles (ohne Beweis) verwenden ;-)

Danke für eure Antworten !
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine der wichtigsten nichttrivialen elementaren Potenzreihen: die geometrische Reihe. Einfach einmal









ausmultiplizieren und vereinfachen. Dann nach der zweiten Klammer auflösen und durch Grenzwertbildung den Übergang von den Partialsummen zur Reihe bewerkstelligen.
MathNoob1 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert der Reihe herleiten
Ah ja! Die steht auch im Skript.

Schönen Abend euch und ganz lieben dank !
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold


Ein zweites Mal differenzieren:




Alternativ: Nach dem Multiplizieren mit die erhaltene Formel (1) nach ableiten statt die Originalformel. Man spart sich praktisch alle weiteren Schritte (man multipliziert nur noch mit am Ende), hat aber mehr Arbeit aufgrund der Quotientenregel (statt einfach die Kettenregel beim Ableiten verwenden zu können).
MathNoob1 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert der Reihe herleiten
Zur Klausurvorbereitung habe ich mir halt irgendwelche x beliebigen konvergenten Reihen herangezogen und versucht den Grenzwert zu zeigen.

Die Beispiele die wir im Tutorium bearbeiteten waren um einiges einfacher zu lösen .
Kaum nehme ich eine x-beliebige Reihe aus dem Skript, die im Kontext Konvergenzradius als Beispiel verwendet wurde, wird knifflig.

Kann es sein das ich mir da eine Reihe rausgesucht habe, bei der das Zeigen des Grenzwerts für eine Analysis I Vorlesung zu umständlich ist ?

Andernfalls habe ich in der Klausur ein Zeitproblem haha Big Laugh
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest vor allem erkennen, dass es in der Regel nicht den einen Lösungsweg gibt. Wenn du also in der Klausur sitzt.jne nicht weiterkommst, nicht nervös werden. Ein anderer Weg ist sicherlich ebenfalls begehbar.

Für mich war dir Erkenntnis, die Ableitung zu benutzen wie Leopold es hier gemacht hat, damals eine wirklich faszinierende. Man muss es sich natürlich zutrauen, aber das ist vielleicht gerade in deiner ana1 Klausur der Schritt in Richtung 1,x.

Die Formel von HAL 9000 habe ich zum Beispiel in Stochastik gelernt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malcang
Die Formel von HAL 9000 habe ich zum Beispiel in Stochastik gelernt.

Sie folgt übrigens auch aus der wohl deutlich bekannteren Binomischen Reihe

,

wenn man den Binomialkoeffizienten via umschreibt. Augenzwinkern
MathNoob1 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert der Reihe herleiten
Das Umformen einer Äquivalenz mittels Ableiten habe ich jetzt hier im Thread fasziniert kennengelernt.

Aber wirklich sicher Umgehen kann ich mit diesem neuen Werkzeug noch nicht.

Werde es aber umgehend üben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MathNoob1
Das Umformen einer Äquivalenz mittels Ableiten habe ich jetzt hier im Thread fasziniert kennengelernt.

Statt Differenzieren kann man alternativ auch über das Cauchy-Produkt gehen:



Und man kann nachweisen , beispielsweise durch vollständige Induktion über .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man in bis zur Ordnung differenziert und mit multipliziert, erhält man



ist ein Polynom in vom Grad mit den Nullstellen (wer will, kann dafür oder schreiben ). Für ist speziell zu setzen.

Ist nun ein Polynom in vom Grad , so kann als Linearkombination der geschrieben werden. Mit geeigneten gilt also



Damit rechnet man



Ein einfaches Beispiel:

Im Ansatz



sind die Koeffizienten zu bestimmen. Man setzt der Reihe nach ein und erhält ein lineares Gleichungssystem in Dreiecksform, das sich sukzessive auflösen läßt:









Es folgt:

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