Fixpunktsatz von Banach

01.06.2022, 11:25

MasterWizz

Fixpunktsatz von Banach

Hey Leute

Gegeben sei eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(x)<\frac12 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0)>0 \end{eqnarray*}$ . Es soll jetzt gefolgert werden, dass die Funktion im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ einen eindeutigen Fixpunkt besitzt.

Grundsätzlich finde ich die Aufgabe eigentlich ganz einfach - dachte ich zumindest bis eben. Denn da $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine abgeschlossene Menge ist und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Kontraktion (wegen $\begin{eqnarray*} f'(x)<\frac12 \end{eqnarray*}$ ), folgt ja nach dem Fixpunktsatz von Banach, dass genau ein $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ existiert, für das $\begin{eqnarray*} f(x_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ gilt. Und da $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, sollte das doch eigentlich ausreichen, oder?

Frage
Allerdings stellt sich mir jetzt folgende Frage: Für jedes abgeschlossene Intervall, wie z.B. $\begin{eqnarray*} M=(-\infty,0] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} M=[0,\infty) \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} M_k=[k,k+1] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ würde doch, angewendet auf die Funktion $\begin{eqnarray*} g=f|_M \end{eqnarray*}$ , ebenfalls der Fixpunktsatz von Banach gelten, oder? Jede dieser Funktionen müsste genau ein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ besitzen, für das gilt $\begin{eqnarray*} g(x_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ . Aber wiederrum stetig auf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ fortgesetzt widerspricht das doch der Eindeutigkeit auf dem ursprünglichen Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , oder? Wo ist mein Denkfehler? verwirrt

01.06.2022, 11:32

HAL 9000

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Für deine eingeschränkten Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist NICHT $\begin{eqnarray*} g:~M\to {\color{red}M} \end{eqnarray*}$ gewährleistet.

01.06.2022, 12:13

MasterWizz

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Achso die Funktionen $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sind gar nicht mehr zwangsweise Kontraktionen! Woraus genau folgt dann aber, dass es für das Intervall $\begin{eqnarray*} M=[0,\infty) \end{eqnarray*}$ funktioniert? Die Bedingung $\begin{eqnarray*} f(0)>0 \end{eqnarray*}$ sichert mir zwar einen positiven Funktionswert zu, was erst mal passt. Allerdings kann die Funktion wegen $\begin{eqnarray*} f'(x)<\frac12 \end{eqnarray*}$ doch negative Werte annehmen, wenn die Funktion fällt, oder nicht?

01.06.2022, 12:46

HAL 9000

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Tja, du bist auf Banach fixiert - warum auch immer, denn ich sehe hier gar keine Kontraktion. Ich würde stattdessen einfach $\begin{eqnarray*} g(x)=f(x)-x \end{eqnarray*}$ betrachten, dann ist $\begin{eqnarray*} g'(x) < -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist streng monoton fallend und damit hat $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ höchstens eine Nullstelle. Wegen $\begin{eqnarray*} g(0)=f(0)>0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} g(x)=-\infty \end{eqnarray*}$ ist es gemäß ZWS genau eine Nullstelle, und die muss im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ liegen. Man kann sogar noch etwas genauer eingrenzen: Die Nullstelle von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , und damit der Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , liegt im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,2f(0)) \end{eqnarray*}$ .

01.06.2022, 15:00

MasterWizz

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Ach krass, jetzt seh ichs auch.. So einen Beweis hab ich damals im Studium sogar mal selbst geführt, allerdings an einem konkreten Beispiel. Ich war so sehr auf Banach fixiert (sehr guter Wortwitz von dir haha), dass ich blind für Alternativen war.

Dass der Fixpunkt im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,2f(0)) \end{eqnarray*}$ liegen muss, folgt direkt aus dem Mittelwertsatz und der Kenntnis, dass dieser eindeutige Fixpunkt existiert, richtig?

Zum Abschluss würd ich nur noch gern ein letztes Mal was zum Fixpunktsatz von Banach fragen in Bezug auf diese Aufgabe:
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wie oben beschrieben ist doch eine Kontraktion, oder? Denn die reellen Zahlen sind eine abgeschlosse Menge und die Lipschitzkonstante ist das Supremum des Differentialquotienten. Oder scheitert es daran, dass die Ableitung nur nach oben beschränkt ist und nicht auch nach unten? Wäre es eine Kontraktion in diesem Sinne, wäre der von dir gefundene Fixpunkt auch der, den Banach meinen würde, nur eben nicht in einem so präzisen Intervall angegeben. Hab ich das richtig verstanden?

01.06.2022, 15:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von MasterWizz
Dass der Fixpunkt im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,2f(0)) \end{eqnarray*}$ liegen muss, folgt direkt aus dem Mittelwertsatz und der Kenntnis, dass dieser eindeutige Fixpunkt existiert, richtig?

Da spielt natürlich auch noch das $\begin{eqnarray*} g'(x)<-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eine Rolle - konkret: Es ist $\begin{eqnarray*} f(0)>0 \end{eqnarray*}$ , und laut MWS folgt damit

$\begin{eqnarray*} f(2f(0)) - f(0) = f'(\xi)\cdot (2f(0)-0) < -\frac{1}{2}\cdot 2f(0) = -f(0) \end{eqnarray*}$ ,

umgestellt $\begin{eqnarray*} f(2f(0)) < 0 \end{eqnarray*}$ . Und dann wie gehabt der ZWS, diesmal einfach auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2f(0)] \end{eqnarray*}$ angewandt.

01.06.2022, 15:48

MasterWizz

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Das heißt mit dem Wissen, dass sich der Fixpunkt im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,2f(0)) \end{eqnarray*}$ befindet, hätten wir auch den Vorzeichenwechsel von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ nachweisen können.

Danke dir für deine ausführlichen Erklärungen! smile

01.06.2022, 15:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von MasterWizz
Das heißt mit dem Wissen, dass sich der Fixpunkt im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,2f(0)) \end{eqnarray*}$ befindet, hätten wir auch den Vorzeichenwechsel von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ nachweisen können.

Naja, oben geht es von der Kausalität her andersherum: Erst wird mit $\begin{eqnarray*} g(2f(0))<0 \end{eqnarray*}$ der Vorzeichenwechsel nachgewiesen, danach ist dann klar, dass in dem genannten Intervall der Fixpunkt ist.

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