Dirac-Notation

01.06.2022, 15:59

Student010622

Dirac-Notation

Hallo,

kann man folgende Summe noch weiter vereinfachen $\begin{eqnarray*} \langle a |\langle b | |a \rangle |b \rangle + \langle b |\langle a | |b \rangle |a \rangle \end{eqnarray*}$ ?

Mir fällt leider keine Regel der Dirac Notation ein, mit der das ginge...

01.06.2022, 16:10

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RE: Frage zur Dirac Notation
Im ersten Moment dachte ich: Ist $\begin{eqnarray*} \langle b | |a \rangle \end{eqnarray*}$ nicht einfach eine Zahl?
SInd da Mehrteilchenzustände gemeint?

01.06.2022, 16:20

Student010622

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RE: Frage zur Dirac Notation
Ja, ich versuche folgende Rechnung nachzuvollziehen:

[attach]55259[/attach]

Ich habe nur die Zeichen mit a und b "vereinfacht". Wie man auf das erste 1/2 kommt weiß ich, allerdings bin ich mir bei dem hinteren Teil nicht sicher, da steckt dann das $\begin{eqnarray*} \langle \psi |\langle \phi | |\psi \rangle |\phi \rangle + \langle \phi |\langle \psi | |\phi \rangle |\psi \rangle \end{eqnarray*}$ dahinter...

01.06.2022, 16:27

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RE: Frage zur Dirac Notation
Dann passt das mit der Zahl $\begin{eqnarray*} \langle a |\langle b | |a \rangle |b \rangle = \langle b |a \rangle \langle a |b \rangle \end{eqnarray*}$

01.06.2022, 17:35

Student010622

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RE: Frage zur Dirac Notation
Das ging mir etwas zu schnell, also du hast vermutlich so gedacht:

$\begin{eqnarray*} \langle a |\langle b | |a \rangle |b \rangle = \langle a |C |b \rangle = C \langle a | |b \rangle = C \langle a |b \rangle = \langle b |a \rangle \langle a |b \rangle \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C = \langle b | |a \rangle = \langle b | a \rangle \end{eqnarray*}$

Die "Zahl" $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kann ich vor das andere Skalarprodukt schreiben. Also Konstante vorziehen.

Wenn ich einfach nur annehme, dass es um eine Zahl geht ist dann ja $\begin{eqnarray*} c_1 \cdot c_2 \end{eqnarray*}$ das gleiche wie $\begin{eqnarray*} c_2 \cdot c_1 \end{eqnarray*}$ , ich bin mir aber nicht sicher, ob das hier wirklich so einfach ist.

Meine nächste Frage wäre dann, wie man auf das Betragsquadrat kommt?

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} z = \langle a|b\rangle \rightarrow z^* = \langle a|b\rangle^* = \langle b|a\rangle \end{eqnarray*}$ jetzt ist $\begin{eqnarray*} zz^* = |\langle a|b \rangle |^2 \end{eqnarray*}$

02.06.2022, 12:02

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RE: Frage zur Dirac Notation
Ja, so hatte ich mir das gedacht. Wenn man die Zahl C vor das Skalarprodukt schreibt, muss man sich noch überlegen, ob man sie dabei komplex konjugieren muss.

Zitat:

Original von Student010622
Wenn ich einfach nur annehme, dass es um eine Zahl geht ist dann ja $\begin{eqnarray*} c_1 \cdot c_2 \end{eqnarray*}$ das gleiche wie $\begin{eqnarray*} c_2 \cdot c_1 \end{eqnarray*}$ , ich bin mir aber nicht sicher, ob das hier wirklich so einfach ist.

Ich verstehe nicht, wo du hier das Problem siehst.

Beim Betragsquadrat hätte so argumentiert wie du.

02.06.2022, 13:34

Student010622

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RE: Frage zur Dirac Notation
Ich glaube meine Bedenken lösen sich gerade in Luft auf, aber mit $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ als Konstante bin ich mir unsicher, wegen des konjugiert Komplexem.

Ansonsten macht das alles schon Sinn...

02.06.2022, 13:39

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RE: Frage zur Dirac Notation
In welchem Kontext ist das denn aufgetreten?
Edit: Ich habe nochmal nachgelesen. Das Skalarprodukt auf einem Produkt-Hilbertraum ist definiert durch $\begin{eqnarray*} \langle a| \langle b||c\rangle|d\rangle=\langle a|c\rangle\langle b|d\rangle \end{eqnarray*}$ .
Mit dieser Definition kann man die Gleichung aus dem screenshot nachrechnen.

02.06.2022, 20:41

Student010622

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RE: Frage zur Dirac Notation
URL, das ist prima und hilfreich! Kurze Rückfrage, woher hast du die Information?

02.06.2022, 22:18

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RE: Frage zur Dirac Notation
Kap 1.8 in diesem Pamphlet oder in diesem Skript
oder im Anhang von Brian C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians. Springer Verlag

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