Ableitungen der e-Funktion

04.06.2022, 14:41

Ilram

Ableitungen der e-Funktion

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich habe folgende Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)=te^{-t+1} \end{eqnarray*}$ .

Und Soll die ersten 3 Ableitungen davon bilden.

Meine Ideen:
Meine Idee ist eigentlich Produktregel anzuwenden aber ich komme nicht auf u und u’

04.06.2022, 14:54

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sollte doch hinzukriegen sein.

Und bei $\begin{eqnarray*} v=-e^{-t+1} \end{eqnarray*}$ ist natürlich bezüglich $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ schon die Kettenregel zu beachten.

04.06.2022, 15:03

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion
Wieso denn $\begin{eqnarray*} V=-e^{-t+1} \end{eqnarray*}$ ? Also warum ist die Funktion auf einmal negativ

Die Ableitung von t hätte ich als 1 gesagt.

04.06.2022, 15:20

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion

Zitat:

Wieso denn $\begin{eqnarray*} V=-e^{-t+1} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} v=e^{-t+1} \end{eqnarray*}$
Dann ist gemäß Kettenregel $\begin{eqnarray*} v'=e^{-t+1}\cdot (-1) \end{eqnarray*}$ , da die innere Ableitung (von $\begin{eqnarray*} -t+1 \end{eqnarray*}$ ) noch draufzumultiplizieren ist.

Zitat:

Die Ableitung von t hätte ich als 1 gesagt.

Ich ebenfalls.

04.06.2022, 15:33

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion
Also ist das was ich bisher aufgeschrieben habe verkehrt.

Ich lasse die produktregel aber zu Anfang stehen?

Und um dann mein v’ auszurechnen Wechsel ich auf die kettenregel?

Kann das entstehende Ergebnis dann als v’ in die produktregel Regel setzen?

04.06.2022, 15:42

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion
Natürlich läßt sich die gesamte Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ per Produktregel ableiten. Aber je nachdem, wie die Komponenten $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ aussehen, müssen die jeweils mit der auf sie zutreffenden Regel einzeln abgeleitet werden.
Am Schluß sind dann $\begin{eqnarray*} u,u',v,v' \end{eqnarray*}$ in der Produktregel wieder zusammenzuführen.

04.06.2022, 16:16

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion
Das hab ich soweit verstanden.

hoffe ich siehe bilder

Vielen Dank

MIt der zweiten ABleitung wartet das nächste Problem verwirrt

04.06.2022, 16:25

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion
Den Faktor (-1) sollte man natürlich der Einfachheit halber eliminieren, indem man ihn mit dem Pluszeichen verrechnet.

Für die 2. Ableitung kannst Du nun Teilergebnisse aus dem ersten Schritt bereits weiterverwenden.

04.06.2022, 16:39

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion
das hab ich mir auch schon irgendwie gedacht, aber ich hab keinen Plan welche.

achso und vereinfacht hatte ich dann noch, aber erst nach dem foto

$\begin{eqnarray*} f'(t)= e^{-t+1} (1-t) \end{eqnarray*}$

04.06.2022, 16:45

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion
$\begin{eqnarray*} f'(t)= e^{-t+1} (1-t) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} f'(t)= e^{-t+1}-te^{-t+1} \end{eqnarray*}$

"Die Ableitung der Summe ist die Summe der Ableitungen."

Von beiden Summanden hast Du eben die Ableitungen berechnet.

04.06.2022, 17:07

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion
Okay muss ich gleich nochmal in Ruhe schauen.
Jetzt ist erstmal Tochter Zeit, nachdem sie die ganze warten musste 🙈🤷‍♀️.

Vielen Dank schon mal, wenn ich nicht weiter komme, melde ich mich wieder.

04.06.2022, 22:47

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion
okay, es scheitert schon am Anfang geschockt

einen term habe ich bereits hingeschrieben, mach ich jetzt einfach weiter mit dem subtrahieren von meinem Term aus f'(t)

oder gilt hier wieder eine der beiden anderen regeln?

04.06.2022, 22:58

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion
Eigentlich gibts hier gar nichts groß zu rechnen, denn da steht in obigen Bezeichnungen
$\begin{eqnarray*} f'(t)=v-f(t) \end{eqnarray*}$
Demnach kann man direkt
$\begin{eqnarray*} f''(t)=v'-f'(t) \end{eqnarray*}$
hinschreiben.

04.06.2022, 23:07

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion
laut der Lösung gibt es schon was zu rechnen, und das ist etwas was ich nicht verstehe.

da steht nämlich:
$\begin{eqnarray*} f''(t)= -e^{-t+1} +(1-t)*(-1)e^{-t+1} <br /> = -1e^{-t+1} + (-1+t)e^{-t+1} <br /> = (-1-1+t)e^{-t+1} <br /> = (-2+t)e^{-t+1} \end{eqnarray*}$

04.06.2022, 23:24

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion
Ausgehend von
$\begin{eqnarray*} f'(t)= e^{-t+1}-te^{-t+1} \end{eqnarray*}$
also zunächst:
$\begin{eqnarray*} f''(t)= -e^{-t+1}- \left(e^{-t+1}-te^{-t+1}\right) \end{eqnarray*}$

Der Rest ist auch keine echte Rechnung, sondern gleichartige Terme zusammenfassen und neu ausklammern.

Da wir aber auch noch die 3. Ableitung brauchen, empfiehlt sich die Form
$\begin{eqnarray*} f''(t)= -2e^{-t+1}+te^{-t+1} \end{eqnarray*}$
was wiederum
$\begin{eqnarray*} f''(t)=-2v+f(t) \end{eqnarray*}$
ist.

04.06.2022, 23:51

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion

Zitat:

Original von klauss

also zunächst:
$\begin{eqnarray*} f''(t)= -e^{-t+1}- \left(e^{-t+1}-te^{-t+1}\right) \end{eqnarray*}$

diesen schritt musst du mir bitte nochmal erlären, langsam blick ich gar nicht mehr durch traurig

Zitat:

Original von klauss
Der Rest ist auch keine echte Rechnung, sondern gleichartige Terme zusammenfassen und neu ausklammern.

das hab ich auch gesehen *yeah*

Zitat:

Original von klauss

Da wir aber auch noch die 3. Ableitung brauchen, empfiehlt sich die Form
$\begin{eqnarray*} f''(t)= -2e^{-t+1}+te^{-t+1} \end{eqnarray*}$

na super da freu ich mich ja noch mehr drauf

05.06.2022, 00:14

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion

Zitat:

diesen schritt musst du mir bitte nochmal erlären

Wie empfohlen nur stures Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} f''(t)= \underbrace{-e^{-t+1}}_{v'}- \underbrace{\left(e^{-t+1}-te^{-t+1}\right)}_{f'(t)} \end{eqnarray*}$

Und weiter gehts auch nicht aufregender:

$\begin{eqnarray*} f''(t)= -2\underbrace{e^{-t+1}}_{v}+\underbrace{te^{-t+1}}_{f(t)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(t)= -2v'+f'(t) \end{eqnarray*}$

05.06.2022, 00:32

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion
Ich geb’s auf. Mir fehlt irgendwo der aha Effekt.
Also das einsetzen der Firmen hab ich verstanden, das war ja das was ich auch machen wollte.

Aber wie ich von dieser Formel jetzt auf das erste der Lösung komme, da fehlt mir der aha Effekt.
Also wie ich die Klammern verrechnen kann usw

05.06.2022, 00:53

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion
Wo liegt jetzt noch genau das Problem?
Diese Vereinfachungsmöglichkeiten sind der sich reproduzierenden e-Funktion zu danken und treten bei anderen Funktionstypen so nicht auf.
An Klammern und Vorzeichen solltest Du in diesem Stadium natürlich nicht scheitern, obwohl das in der Schule leider keine Seltenheit ist.

05.06.2022, 00:58

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion
Vielleicht liegt es auf grade an der Uhrzeit.
Und ja es ist Schule, genauer gesagt 2er Bildungsweg Abi nachmachen.

Ich setz mich morgen Früh nochmal da dran.

05.06.2022, 01:04

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion
Ja, am besten nochmal die einzelnen Schritte in Ruhe nachvollziehen, dann könnte der Aha-Effekt doch noch kommen.
Ich stoße dann morgen später dazu.

05.06.2022, 10:44

pfingsti

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Noch ein Hinweis bzw. eine Empfehlung:

Ich würde bei solchen so genannten zusammengesetzten Funktionen, bestehend aus einem ganzrationalen und einem exponentiellen Faktor, beim Ableiten mit der Produktregel immer nach dem Einsetzen in $\begin{eqnarray*} u' \cdot v + u \cdot v' \end{eqnarray*}$ den e-Term ausklammern.

Das hat zum einen den Vorteil, dass man dann beim erneuten Ableiten stets dieselbe Struktur hat und zudem beim Bestimmen der Extrem- und Wendestellen (denn dafür sind die Ableitungen ja die Basis) für die notwendigen Bedingungen direkt eine passende Gleichung vorliegt, wo man den Satz vom Nullprodukt nutzen kann (faktorisierte Terme sind beim Nullsetzen meist Gold wert).

Wenn du "e hoch irgendwas" ableiten möchtest, dann schreibe das "e hoch irgendwas" einfach ab und multipliziere es mit der Ableitung vom Exponenten.
Bei linearen Exponenten der Form i(x)=ax+b multiplizierst du also einfach nur mit dem Faktor a.

Meine Schüler lernen es so :

$\begin{eqnarray*} f(t)=t \cdot e^{-t+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(t) = u' \cdot v + u \cdot v' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(t) = 1 \cdot e^{-t+1} + t \cdot e^{-t+1} \cdot (-1) \end{eqnarray*}$ ----> und jetzt den e-Term ausklammern und was nicht exponentiell ist, das kommt in die Klammer

$\begin{eqnarray*} f'(t) = e^{-t+1} \cdot ( 1 + t \cdot (-1)) \end{eqnarray*}$ -----> Term in der äußeren Klammer vereinfachen, falls möglich

$\begin{eqnarray*} f'(t) = e^{-t+1} \cdot ( 1 - t) \end{eqnarray*}$

05.06.2022, 11:52

Ilram

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RE: Ableitungen der e Funktion
Guten Morgen,
Also ich bin soweit gekommen.

Allerdings weiß ich nicht wieso oder was ich im zweiten Schritt gemacht habe.
Ist es einfach nur ausklammern oder steckt da doch noch mehr dahinter?

05.06.2022, 12:13

klauss

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RE: Ableitungen der e Funktion
Ist ja in Ordnung so. Vielleicht diese Erklärung:
Mit Produktregel erhält man im ersten Schritt die Rohform der Ableitung. Die läßt man aber nicht so stehen, sondern faßt bestmöglich übersichtlich und praktisch zusammen. Die faktorisierte Darstellung erfüllt diese Forderung, insbesondere im Hinblick auf evtl. folgende Nullstellensuche.
Man stelle sich einfach vor, man müßte das Ergebnis einem Dritten präsentieren, dann sollte man nicht einen "Monsterterm" vorlegen, an dem man nichts auf einen Blick ablesen kann.

Will man höhere Ableitungen berechnen, kann sich auch eine andere Schreibweise anbieten. Dazu habe ich Vorschläge gemacht.

05.06.2022, 12:46

Ilram

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@pfingsti
Vielen Dank. Das war der Aha für die erste Ableitung zumindest.

Bei der zweiten Ableitung scheine ich allerdings irgendwo einen Denkfehler zu haben.

Arbeite ich mit der produktregel? Oder ist das schon mein Denkfehler

05.06.2022, 13:06

pfingsti

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Du hast es fast, nur ein kleiner Fehler.

Am Ende muss es so lauten:

$\begin{eqnarray*} f''(t)=e^{-t+1} \cdot ( -1 \cdot (1-t) + (-1) ) \end{eqnarray*}$

Also statt dem Malzeichen ein Pluszeichen (das ist das Pluszeichen, welches mitten in der Produktregel steht und die beiden Produkte voneinander trennt).

Jetzt nur noch den Term in der äußeren Klammer so weit vereinfachen wie möglich.

Zitat:

Arbeite ich mit der produktregel?

Bei dieser Art von zusammengesetzten Funktionen gilt die Devise "einmal Produktregel, immer Produktregel", denn es wird durch das Ausklammern des e-Terms ja stets immer wieder ein Produkt aus zwei Faktoren u und v entstehen.

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