Gruppe der hyperbolischen Bewegung

04.06.2022, 15:25	Gast3	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe der hyperbolischen Bewegung Meine Frage: Wir haben in der Vorlesung die Gruppe der hyperbolischen Bewegungen definiert als die UG von S(H^2), die von den Möbiustransformationen in PGL_2 (R)^+ und z-> 1/z' wobei z' komplex konjugiert ist. Meine Ideen: Kann mir jemand ein einfaches Beispiel dazu machen. Das ist keine Hausaufgabe nur zum Verständnis. Warum ist wir das nicht von Möbiustransformationen in PGL_2(C)^+ und z -> 1/z' erzeugt. Vielen Dank im Voraus
04.06.2022, 17:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist einfach so, weil die reelle Gerade nicht zur oberen Halbebene gehört. Sie muss auf sich selbst abgebildet werden, ebenso muss die obere auf die obere und die untere auf die untere Halbebene abgebildet werden. Mit anderen Worten: Jede Möbiustransformation, die als hyperbolische Bewegung durchgehen will, ist durch drei reelle Paare von Urbildern und Bildern gegeben. Warum ? Weil drei Punktepaare eine Möbiustransformation festlegen. Eine sehr ausführliche und leicht verständliche Darstellung findest du in "Anschauliche Funktionentheorie" von Tristan Needham (nicht nur - aber auch - wegen der ausführlichen Behandlung der Möbiustransformationen ein herausragendes Buch).
05.06.2022, 07:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auch geometrisch argumentieren anstatt funktionentheoretisch. Jede Bewegung ist winkeltreu, jede direkte Bewegung erhält die Orientierung von Winkeln, jede indirekte Bewegung kehrt die Orientierung von Winkeln um. Jede Bewegung ist das Produkt von Geradenspiegelungen. Jede direkte Bewegung ist das Produkt von 2 Geradenspiegelungen. T. Needham zeigt ausführlich, wie man die hyperbolischen Bewegungen mit Möbiustransformationen verbindet, klassifiziert und anschaulich versteht.
05.06.2022, 15:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Clou besteht m.E. darin, dass in allen Geometrien (euklidisch, elliptisch und hyperbolisch) jede direkte Bewegung durch 2 Spiegelungen an (euklidischen, elliptischen bzw. hyperbolischen) Geraden dargestellt wird, und jede Bewegung wird durch höchstens 3 Spiegelungen dargestellt. Zu jeder Geometrie (oder besser: zu jedem Modell einer Geometrie) gehört eine Untergruppe der Möbiustransformationen, durch die alle Bewegungen dargestellt werden. Und was mich wirklich vom Hocker gehauen hat: Penrose und Rindler haben 1984 gezeigt, dass die Möbiustransformationen der komplexen Ebene genau die Lorentztransformationen unserer Raumzeit sind ... In was für einer unglaublich verrückten Welt leben wir eigentlich ?

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