Integral abschätzen

04.06.2022, 16:59

_Bastii

Integral abschätzen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Problem dabei folgendes zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \leq \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! cos(x) \, dx \leq \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Dafür soll ich die Eigenschaften des Riemannschen Integrals (Intervalladditivität, Linearität, Monotonie des Integrals und Dreiecksungleichung) verwenden.

Meine Ideen:
Zuerst habe ich überlegt, wie ich das Integral nach unten abschätzen kann.
Leider hänge ich hier schon fest, weil ich nicht weiß, wie ich das Integral am sinnvollsten abschätzen kann.

Ich habe mir zuerst den cos x angeschaut und gedacht, dass ich einfach eine lineare Funktion ( $\begin{eqnarray*} f(x)=1-x \end{eqnarray*}$ ) darunter zeichnen kann.
[attach]55279[/attach]

Dann wollte ich die Monotonie des Integrals verwenden
$\begin{eqnarray*} f_{1}(x) \leq f_{2}(x) \forall x \in \left[a, b\right] \Rightarrow \int_{a}^{b} \! f_{1}(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} \! f_{2}(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Nur leider scheint die Abschätzung viel zu grob zu sein:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! 1-x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! 1 \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! x \, dx = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2} * \left(\frac{\pi }{2}\right)^{2} = \frac{1}{8} (4\pi -\pi ^{2}) \approx 0,33709 \end{eqnarray*}$

Denn das ist offensichtlich viel kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ .

Wie finde ich eine bessere Abschätzung?
Gibt es da irgendeine allgemeingültige Herangehensweise?

04.06.2022, 17:04

Helferlein

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Nimm die Gerade durch die beiden Achsenschnittpunkte von f(x)=cos(x).

04.06.2022, 17:24

_Bastii

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Das hätte mir auch einfallen müssen Hammer

Damit komme ich dann auch auf das richtige Ergebnis
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi }{2} } \! -\frac{2}{\pi }*x+1 \, dx = -\frac{2}{\pi } * \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \! x \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \! 1 \, dx = ... = \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$

Dankeschön!

Für die Abschätzung nach oben fällt mir nur leider gar nichts ein.
Wie kann ich da am besten dran gehen?

04.06.2022, 18:04

Huggy

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Zitat:

Original von _Bastii
Für die Abschätzung nach oben fällt mir nur leider gar nichts ein.

Ja, das ist echt schwer. Big Laugh

Man könnte mal $\begin{eqnarray*} \cos x \leq 1 \end{eqnarray*}$ probieren.

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