Stochastische Unabhängigkeit

04.06.2022, 18:44	Blerim1234566	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Unabhängigkeit Meine Frage: Hallo, im Buch steht: "Mit A und B sind auch die folgenden beiden Ereignisse jeweils unabhängig" A und Komplement B, Komplement A und B, Komplement A und Komplement B Meine Ideen: Kann mir das jemand vielleicht an einem Venn-Diagramm zeigen? Danke
04.06.2022, 19:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisskizze: Mit $\begin{eqnarray} P(B^c)=1-P(B) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} P(A\cap B^c) = P(A)-P(A\cap B) \end{eqnarray}$ folgt die Äquivalenz $\begin{eqnarray} P(A\cap B^c) = P(A)\cdot P(B^c) \Leftrightarrow P(A)-P(A\cap B) = P(A)\cdot (1-P(B)) \Leftrightarrow P(A)-P(A\cap B) = P(A)-P(A)\cdot P(B) \Leftrightarrow P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray}$ . Damit ist gezeigt $\begin{eqnarray} A,B^c ~\mbox{unabhängig}~\Leftrightarrow A,B~\mbox{unabhängig} \end{eqnarray}$ . Die anderen Äquivalenzen erfolgen analog. P.S.: Ein Venn-Diagramm dient lediglich der Veranschaulichung und taugt nicht als Beweis.
04.06.2022, 20:27	Blerim	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich habe versucht mir das in einem Venn-Diagramm vorzustellen, konnte es aber nicht, bei dem Beweis weiß ich, wie es geht, nur bei KOmplement A und Komplement B? Wie sieht da der Beweis aus?
04.06.2022, 22:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Argumentation von oben mit $\begin{eqnarray} \tilde{A}:=B^c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tilde{B}:=A \end{eqnarray}$ statt A,B durchführst bekommst du die Äquivalenz $\begin{eqnarray} B^c,A^c ~\mbox{unabhängig}~\Leftrightarrow B^c,A~\mbox{unabhängig} \end{eqnarray}$ . Da passiert nichts spannend Neues mehr.

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