Eigenwerte bei verknüpften Endomorphismen

Neue Frage »

04.06.2022, 22:17	Warumlogisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte bei verknüpften Endomorphismen Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben: Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und ? ? End(V ) ein Endomorphismus. Wir betrachten den Endomorphismus Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und ? ? EndK(V ) ein Endomorphismus. Wir betrachten den Endomorphismus F? : EndK(V ) ? EndK(V ), ? ? ? ? ?. (a) Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert von F? auch ein Eigenwert von ? ist. (b) Zeigen Sie, dass jeder Eigenwert von ? auch ein Eigenwert von F? ist, und bestimmen Sie den zugehörigen Eigenraum E(F?, ?). Meine Ideen: Zur a) hätte ich die Idee: Sei y ein Eigenwert von F? => es existiert ein v aus EndK(V) mit F v)=yv also ?v=yv aber stimmt das und wie macht man da weiter? Zur b) Weiß ich nur, dass wenn y ein EW von ? ist gilt: es ex. ein v aus V mit v)=yv. Wie macht man dann da weiter? Normale Eigenräume, also mit Zahlen kann ich mittlerweile aufstellen, aber bei so abstrakten Abbildungen tu ich mir noch schwer: E(F?,y)=ker(F?-yid)=(? ? ?-yid)=?? Sorry, vermutlich ist die Aufgabe gar nicht schwer, aber ich komme nicht weiter, danke im Voraus für eure Hilfe . Viele Grüße
04.06.2022, 22:30	warumlogisch1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bei verknüpften Endomorphismen Sorry, man kann die Aufgabenstellung nicht verstehen, deswegen hier hoffentlich nochmal als Bild Willkommen im Matheboard! Du bist nun zweimal angemeldet, Warumlogisch wird daher demnächst wieder gelöscht. Viele Grüße Steffen
05.06.2022, 12:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bei verknüpften Endomorphismen zu a) Der Anfang ist schon richtig. $\begin{eqnarray} F_\phi(v)=yv \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \phi\circ v= y v \end{eqnarray}$ . Die beiden Abbildungen stimmen also in allen Punkten $\begin{eqnarray} t\in V \end{eqnarray}$ überein. Das muss man nur noch hinschreiben und hat die Behauptung - jedenfalls fast.
05.06.2022, 15:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisversuch anbei, Eigenraum fehlt noch, und Kleinigkeiten habe ich im Kopf aber keine Lust aufzuschreiben.
06.06.2022, 11:36	warumlogisch1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bei verknüpften Endomorphismen Vielen Dank!
06.06.2022, 11:37	warumlogisch1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch beiden
Anzeige

06.06.2022, 11:55	warumlogisch1	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ne Frage: Warum muss man bei a) Linearität zeigen? Und dann verstehe ich die Fallunterscheidung nach dem "setzte" nicht ganz: für y woraus soll die Abbildung gleich 0 sein und wann phi(y)?
06.06.2022, 12:23	warumlogisch1	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man den Eigenraum dann so bestimmen? Oder nicht?
06.06.2022, 13:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst habe ich unter a) überprüft, ob $\begin{eqnarray} F_{\phi} \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung ist. Wenn dem nicht so wäre, wäre die Frage nach Eigenwerten sinnlos. $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist Eigenwert von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . Damit $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} F_{\phi} \end{eqnarray}$ ist, muss es eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \psi:V\to V \end{eqnarray}$ geben mit gewissen Eigenschaften, also konstruiere ich eine. Ich setze $\begin{eqnarray} \psi=id \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ aus dem Eigenraum von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , sonst $\begin{eqnarray} \psi=0 \end{eqnarray}$ . Dann zeige ich, dass dieses $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray} F_{\phi} \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist. (Details bitte selbst ausführen.) Was du über den Eigenraum zu sagen hast, ist formal fast richtig, aber nicht erhellend. Das muss konkreter werden. Welche $\begin{eqnarray} \psi:V\to V \end{eqnarray}$ gehören dazu und welche nicht ? (Ich weiß es nicht.) Das letzte Gleichheitszeichen ist übrigens falsch, denn $\begin{eqnarray} E(F_{\phi},\lambda)=E(\phi,\lambda) \end{eqnarray}$ ist unmöglich. Der erste Eigenraum enthält Endomorphismen von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , der zweite Eigenraum enthält Elemente von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ .
06.06.2022, 13:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} F_\phi\psi=\lambda \psi \end{eqnarray}$ , also der für alle $\begin{eqnarray} v\in V \end{eqnarray}$ gültigen Beziehung $\begin{eqnarray} \phi(\psi(v))=\lambda \psi(v) \end{eqnarray}$ ergibt sich eine Beziehung zwischen $\begin{eqnarray} Bild\, \psi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E(\phi,\lambda) \end{eqnarray}$ , mit der sich der gesuchte Eigenraum charakterisierern lässt.
06.06.2022, 14:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es, und mein $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ist ein naheliegendes Beispiel dafür.
06.06.2022, 15:15	warumlogisch1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch nochmal für eure Mühe! Das mit den Eigenvektoren habe ich jetzt verstanden, aber auf den Hauptraum komm ich nicht, das ist aber in Ordnung ich warte einfach auf die Verbesserung in der Tafelübung Viele Grüße
06.06.2022, 18:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass du mit uns zufrieden bist, es hat ja auch genug Mühe gemacht. Du solltest aber erst mit dir zufrieden sein, wenn du alles verstanden hast und erklären kannst. a) ist mein Beweis in Ordnung ? b) ist mein Beweis vollständig ? c) beachte, dass ich hier schon bequem geschummelt habe : $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ EW von $\begin{eqnarray} \phi\Rightarrow \exists x\in V: \phi(x)=\lambda x \end{eqnarray}$ d) genau so geschummelt bei der Rückrichtung e) wo genau wird die exakte Definition des Begriffs "Eigenwert" gebraucht? f) ist mein Beispiel- $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus von V ? Vermutung: $\begin{eqnarray} E(F_{\phi},\lambda)=\{\psi\in End(V):Bild(\psi)\le E(\phi,\lambda)\wedge ker(\psi) =(V\backslash Bild (\psi)) \cup 0\} \end{eqnarray}$ Beweis ?

Neue Frage »

Antworten »

Eigenwerte bei verknüpften Endomorphismen

Verwandte Themen