Gekoppelte Differentialgleichung

05.06.2022, 14:39

Thomas007

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Gekoppelte Differentialgleichung

Hallo miteinander

Kann mir jemand ein _einfaches_ Beispiel einer gekoppelten Differentialgleichung geben und mir zeigen, wie man ein solches System durchrechnen würde?

Also so etwas wie:
x'(t) = 2y(t)
y'(t) = 4x(t)

[Keine Ahnung, ob sich dieses System lösen liesse...aber wenn ja, dann wäre ich wie erwähnt sehr am Vorgehen interessiert.]

Ich habe schon gegoogelt und nachgeforscht, aber ständig sind die Beispiele und Aufgaben viel zu schwierig gewählt...

Danke vielmals! smile

smile

05.06.2022, 15:05

Huggy

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Leite die erste Gleichung noch mal nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ab. Dann steht auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} 2y' \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ kannst du aus der zweiten Gleichung einsetzen. Dann hat man ein gewöhnliche DGL 2. Ordnung für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Die kann man lösen. Die Lösung setzt man in die 2. Gleichung ein und löst dann diese.

05.06.2022, 15:25

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Vielen Dank für die Antwort. Soweit bin ich gut gefolgt.

x''(t) = 2y'(t)

x''(t) = 2 * 4x(t)

--> x(t) = x''(t) / 8

--> y'(t) = x''(t) / 2

Ist das soweit ok?

Wie würde man hier noch fortfahren?

05.06.2022, 15:50

Huggy

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Die ersten drei Zeilen sind in Ordnung. Dabei würde man die dritte Zeile üblicherweise

$\begin{eqnarray*} x''=8x \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} x''-8x=0 \end{eqnarray*}$

schreiben. Aber jetzt wird diese DGL erst mal gelöst. Lösen heißt nicht, sie nach $\begin{eqnarray*} x = \ldots \end{eqnarray*}$ umzustellen. Erst die Lösung wird dann in die zweite DGL eingesetzt.

05.06.2022, 16:12

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Ok, man halt also die Gleichung $\begin{eqnarray*} \int \frac{x''(t)}{x(t)} dx = 8 dx \end{eqnarray*}$ zu lösen, oder?

...wie macht man das? verwirrt

verwirrt

05.06.2022, 17:07

Huggy

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
So funktioniert das nicht. Für eine DGL der Form

$\begin{eqnarray*} x''+a x' +b x=0 \end{eqnarray*}$

mit Konstanten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ löst man zuerst die charakteristische Gleichung

$\begin{eqnarray*} r^2+ a r+b=0 \end{eqnarray*}$

Hat diese zwei reelle und voneinander verschiedene Lösungen $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 \end{eqnarray*}$ , so ist

$\begin{eqnarray*} x(t)=c_1 e^{r_1 t}+c_2 e^{r_2 t} \end{eqnarray*}$

die allgemeine Lösung der DGL.

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05.06.2022, 17:30

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Ahhh ok, und hier hätten wir zwei verschiedene r, nämlich +/- Wurzel aus 8, korrekt?

05.06.2022, 17:36

Huggy

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Richtig.

05.06.2022, 20:58

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Okay, d.h. für x(t) gilt: x(t) = A*e^(sqrt(8) * t) + B*e^(-sqrt(8) * t)

Jetzt ist diese Gleichung noch in y'(t) = 4x(t) einzusetzen, oder?

Wie ist das (nach y) zu lösen?

06.06.2022, 07:38

Huggy

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung

Zitat:

Original von Thomas007
Jetzt ist diese Gleichung noch in y'(t) = 4x(t) einzusetzen, oder?

Das sagte ich oben. Es geht aber noch einfacher. Da man jetzt $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ hat, hat man durch Ableiten auch $\begin{eqnarray*} x'(t) \end{eqnarray*}$ . Und aus der ersten DGL

$\begin{eqnarray*} x'=2 y \end{eqnarray*}$

folgt ja

$\begin{eqnarray*} y=\frac {x'} 2 \end{eqnarray*}$

06.06.2022, 14:42

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Ahhh genial, vielen Dank für deine Hilfe!

Damit die Aufgabe noch vollständig ist, hier das gesuchte y:

y(t) = [ sqrt(8) * A * e^(sqrt(8)*t) - sqrt(8) * B * e^(- sqrt(8) * t) ] / 2

06.06.2022, 17:39

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Noch eine Frage:
Die Schlusslösungen beinhalten nun die e-Funktion. Bisher habe ich in den Schlusslösungen meistens sin- und cos-Funktionen gesehen, also sowas wie:

x(t) = A sin(2t) + 2 cos(6t)
y(t) = C sin(8t) + D cos(2t)

Geht man hier von einem anderen Ansatz aus?

06.06.2022, 17:49

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
(Bei x(t) soll natürlich eine Konstante B statt eine 2 vor dem cos stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

06.06.2022, 18:05

Huggy

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Nach Entkopplung ergab sich eine DGL der Form

$\begin{eqnarray*} x''= c x \end{eqnarray*}$

mit einer Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ ergeben sich als Fundamentallösungen die Exponentialfunktionen, bei $\begin{eqnarray*} c<0 \end{eqnarray*}$ die Winkelfunktionen.

06.06.2022, 21:04

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Ahhhh...d.h. bei c<0 ergäbe sich die Gleichung x(t) = A*sin(r_1 * t) + B cos( r_2 * t) ?

07.06.2022, 08:17

Huggy

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Nein!

Was wäre denn $\begin{eqnarray*} r_{1,2} \end{eqnarray*}$ , wenn man statt $\begin{eqnarray*} x''=8 x \end{eqnarray*}$ die DGL $\begin{eqnarray*} x''=-8x \end{eqnarray*}$ hätte?

07.06.2022, 12:14

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Ah klar, man hätte dann die Gleichung r^2 = -8, sprich keine reelle Lösung.

In einem solchen Fall geht man dann also zur sin/cos-Variante über?

07.06.2022, 12:34

Huggy

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Wenn man auch komplexe Lösungen zulässt, kann man den Fall $\begin{eqnarray*} r_1 \neq r_2 \end{eqnarray*}$ für reelle und komplexe $\begin{eqnarray*} r_{1,2} \end{eqnarray*}$ einheitlich behandeln. Als allgemeine Lösung kann man dann immer die Exponentiallösung verwenden. Es können dann halt im Exponenten auch auch komplexe Werte stehen. Die reellen Lösungen bekommt man dann mit der Eulerformel über geeignete Linearkombinationen. Bei komplexem $\begin{eqnarray*} r_{1,2} \end{eqnarray*}$ sind die reellen Lösungen ein Produkt aus der Exponentialfunktion und Winkelfunktionen. Lediglich bei rein imaginärem $\begin{eqnarray*} r_{1,2} \end{eqnarray*}$ hat man nur Winkelfunktionen.

07.06.2022, 12:48

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Vielen Dank für die korrekte und sehr verständliche Antwort.

Ich glaube, wir haben bisher nur entweder rein-reelle Lösungen oder rein-imaginäre Lösungen gesehen, denn eine Lösung aus einem Mix aus e- und Winkelfunktionen habe ich bisher noch nicht angetroffen.

07.06.2022, 12:54

Huggy

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Sagt dir gedämpfte Schwingung etwas?

07.06.2022, 13:03

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Ja, im Rahmen der trogo. Funktionen haben wir angeschaut, was zB Faktoren vor sin/cos bzw. in den Argumenten zur Folge haben - u.a. eben eine Dämpfung. Meinst du das?

07.06.2022, 14:04

Huggy

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Konstante Faktoren beschreiben keine Dämpfung, aber eine Exponentialfunktion als Faktor schon. Siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Schwingung...pfte_Schwingung

07.06.2022, 14:20

Thomas007

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RE: Gekoppelte Differentialgleichung
Vielen Dank für die Zusatz-Info!

Kann ich aber mit gutem Gewissen sagen, dass wenn man nur reelle Lösungen zulässt und x'' < 0 ist, wir auf die Winkelfunktionen zurückgreifen müssen und bei x'' > 0 auf die e-Funktion?

Oder ist das zu generalisierend?

07.06.2022, 14:41

HAL 9000

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So kann man das gewiss nicht sagen, und es ist auch nicht generalisierend, sondern grundlegend falsch. Wenn du auf die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} x'' = kx \end{eqnarray*}$ anspielst und die Parameterfälle $\begin{eqnarray*} k<0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$ meinst, dann könnte ein Schuh draus werden. Bedenke, dass gerade im Schwingungsfall $\begin{eqnarray*} k<0 \end{eqnarray*}$ sowohl $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} x''(t) \end{eqnarray*}$ im Zeitverlauf sowohl positive wie negative Werte annehmen können! Kurzum, mit deinem $\begin{eqnarray*} x''<0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x''>0 \end{eqnarray*}$ bist du auf dem Holzweg.

07.06.2022, 15:10

Thomas007

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Ok, dann anders gefragt: Wie weiss ich, wann ich den Ansatz mit der e-Funktion bzw. den Ansatz mit den Winkelfunktionen wählen muss?

07.06.2022, 15:23

HAL 9000

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Über welche einschränkende Klasse von DGL sprichst du denn hier überhaupt? Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten, so wie hier?

Da nimm doch den Exponentialansatz $\begin{eqnarray*} e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ , und sollte sich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ als komplex heraustellen, kannst du das in Winkelfunktionen umrechnen gemäß $\begin{eqnarray*} e^{(a\pm ib)t} = e^{at}\cdot e^{\pm ibt} = e^{at}\left(\cos(bt)\pm i\sin(bt)\right) \end{eqnarray*}$ .

07.06.2022, 15:58

Thomas007

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Genau, ich habe immer lineare DGL.

Ok, das ist ein guter Anhaltspunkt, die Entscheidung zu treffen. smile

smile

Ich war bloss verwirrt, warum bei uns in den Musterlösungen plötzlich sin und cos auftauchten. Nun ist es aber klar, r (bzw. Lambda) war komplex. smile

smile

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