Extremwertaufgabe Quader Volumen

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_Bastii Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Quader Volumen
Meine Frage:
Guten Tag,

ich benötige einen Denkanstoß bei folgender Aufgabe.

Aus einem quadratischen Papier sollen die orange markierten Bereiche ausgeschnitten werden, sodass ein Quader entsteht. Die Frage ist, für welche Höhe h das Volumen des Quaders maximal wird.

[attach]55290[/attach]

Meine Ideen:
Grundsätzlich kenne ich die Bedingungen für Extrema.
Ich hänge hier nur beim Aufstellen der Funktion für das Volumen fest.

Eigentlich gilt:


und hängen ja aber irgendwie von h ab.

Wenn man bspw. die linke/rechte Seite des quadratischen Papiers als auffasst und die obere/untere als und die Seiten jeweils die Länge haben, dann wäre, denke ich, .
Aber was ist ?

Ich habe es einmal mit der Funktion

probiert.
Da habe ich als Nullstellen der ersten Ableitung aber
und herausbekommen.
In der zweiten Ableitung eingesetzt ergibt das aber für beide Nullstellen nicht 0.
Daher denke ich, dass die Funktion falsch aufgestellt ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]55291[/attach]
_Bastii Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Leopold für die Grafik.

Wäre es dann so richtig?




Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt. Jetzt den Term noch etwas verschönern. Und etwas Wichtiges fehlt noch: die Angabe des Definitionsbereichs. Welche Werte für sind im Sinne der Aufgabenstellung sinnvoll? Man kann das an der Zeichnung ablesen. Gib das entsprechende Intervall an.
_Bastii Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
Ich habe jetzt folgendes gemacht:



Als Definitionsbereich würde ich wählen, da es keinen Sinn macht die Werte größer oder kleiner zu wählen und ergibt.

Meine berechneten Nullstellen der ersten Ableitung (notwendige Bedingung für Extremwert), stimmen mit der Lösung überein:



(weil )

Mit der hinreichenden Bedingung hadere ich allerdings noch etwas.
In der Vorlesung hatten wir die Definition, dass die Funktion mal stetig differenzierbar sein muss und es soll gelten


und


Wenn gerade ist, dann existiert bei ein lokales Extrema.

Ich folgere daraus jetzt, dass bei meiner Funktion



sein muss und



weil die Funktion drei mal differenzierbar ist. Da aber nicht gerade ist, sollte an der Stelle doch kein Extrema haben oder habe ich das falsch verstanden?

Denn ist ja bereits
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von _Bastii
Als Definitionsbereich würde ich wählen, da es keinen Sinn macht die Werte größer oder kleiner zu wählen und ergibt.


So kann man das machen. Ich selbst würde als Definitionsbereich nehmen und die Fälle (Schachtel besteht nur aus dem Boden) und (der Boden ist zu einem Punkt zusammengeschrumpft, da alles weggeschnitten wurde) als sogenannte Entartungsfälle mit dazunehmen. Aber da gibt es kein richtig und kein falsch. Auch dein Zugang ist möglich.

Ich würde nicht nach Schema vorgehen, sondern folgendermaßen argumentieren:

An der Darstellung



liest man ab (beachte das Quadrat):



Skizziert man mögliche Graphen, die dazu passen, erkennt man: muß im Innern des Intervalls ein globales Maximum besitzen. Dieses muß auch ein lokales Maximum sein. Dort muß daher Null werden. Es gibt aber nur eine Stelle im Innern des Intervalls mit , wie von dir berechnet. Also ...
 
 
_Bastii Auf diesen Beitrag antworten »

Die Argumentation erscheint plausibel.

Gibt es trotzdem einen Weg, dass über Schema F mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung zu zeigen?

Denn laut der von mir verwendeten Definition, sollte es keinen Extremwert geben. Vorausgesetzt ich habe die Definition richtig verstanden und angewendet. Da scheine ich aber wohl einen Fehler gemacht zu haben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, bleiben wir bei deinem Kriterium:

Zitat:
Original von _Bastii
und es soll gelten


und


[...]

Ich folgere daraus jetzt, dass bei meiner Funktion



sein muss und


Da hast du dich um eins verzählt: Für das gerade muss nur gelten sowie .

Es ist wohl wenig zielführend den Schülern solche Entscheidungsregeln zu lehren, wenn man sie dann nicht an einigen aussagekräftigen Beispielen erläutert. Ansonsten ist es wohl besser, nur das hinreichende Kriterium zu lehren, und im Fall über einen vorhandenen oder eben nicht vorhandenen Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung in der Umgebung von nachzudenken.

Dass das mit den höheren Ableitungen auch nicht der Weisheit letzter Schluss ist sieht man an der Funktion

.

Für die gilt für alle , d.h. man kommt mit obiger Regel nie zur Entscheidung. Dagegen sieht man der Funktion direkt f(x)>0 für alle an, womit bei ein lokales (und auch globales) Miniumum vorliegt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von _Bastii
Denn laut der von mir verwendeten Definition, sollte es keinen Extremwert geben. Vorausgesetzt ich habe die Definition richtig verstanden und angewendet. Da scheine ich aber wohl einen Fehler gemacht zu haben.


Dabei handelt es sich nicht um eine Definition, sondern um einen Satz. Entweder hast du dich bei seiner Anwendung irgendwo verrechnet oder die Voraussetzung nicht richtig verstanden.

Es gilt





In der Voraussetzung des Satzes ist also .

hat bei ein lokales Maximum.

Noch ein wenig Sprachkunde zum Schluß. Es heißt im Singular "das" Extremum/Minimum/Maximum/Praktikum/Visum und im Plural "die" Extrema/Minima/Maxima/Praktika/Visa
_Bastii Auf diesen Beitrag antworten »

Danke HAL 9000 und Leopold.

Dann habe ich den Satz wohl falsch verstanden.
Es geht also nicht darum, wie oft die Funktion differenzierbar ist, sondern darum, in welcher Ableitung
die aus errechneten Nullstellen (z. B. ) ungleich null sind und ob dieses dann gerade ist.

Nochmal ein kleines Beispiel, ob ich es verstanden habe:
Wenn also eine Funktion 20 mal differenzierbar ist und es gilt

und

und


Dann hätte die Funktion an der Stelle ein lokales Maximum, weil gerade ist.

Wäre bereits
gewesen, hätte die Funktion kein Extremum an der Stelle da ungerade ist.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von _Bastii
... sondern darum, in welcher Ableitung
die aus errechneten Nullstellen (z. B. ) zum ersten Mal ungleich null sind und ob dieses dann gerade ist.


Mit meiner Einfügung stimmt es.

Dein Beispiel paßt. Im übrigen ist nicht etwa nur drei- oder viermal differenzierbar, sondern unendlich oft. Es sind halt nur alle Ableitungen ab der Ordnung 4 konstant gleich 0.
_Bastii Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke!

Zur Übung habe ich es jetzt nochmal mit einer neuen Aufgabe versucht und habe dazu eine Frage.

Es geht darum, ein Stück Papier, welches die Länge L und die Breite W hat, an der L-Seite um 90° nach oben zu knicken, sodass ein Keil entsteht. Die Frage ist, an welcher Stelle die Seite L geknickt werden muss, damit das Volumen maximal wird.

Die Höhe des Keils habe ich mit h bezeichnet und dann folgende Funktion gebildet:

,

Die Ableitung und die Nullstelle der Ableitung sieht dann so aus:





Wenn ich mir die Ausgangsfunktion plotten lasse (z. B. mit ), sehe ich auch, dass bei ein Maximum liegt, jedoch ist die zweite Ableitung



was für ein Minimum spricht.

Habe ich hier einen Fehler gemacht?
_Bastii Auf diesen Beitrag antworten »

Ups..
Ich habe den Fehler schon selbst gesehen.
Durch die ganzen Variablen habe ich mich etwas verwirren lassen und die zweite Ableitung falsch gebildet.

Es ist natürlich



und
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