Lineare Unabhängigkeit

08.06.2022, 16:48

Malcang

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Lineare Unabhängigkeit

Hallo

Wink

ich hänge gerade an dieser Aufgabe:
[attach]55306[/attach]

Nehme ich also mal an, dass $\begin{eqnarray*} v_1-v_0,\dots,v_m-v_0 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Das ist ja genau dann der Fall, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_1\cdot(v_1-v_0) + \lambda_2\cdot(v_2-v_0) + \dots + \lambda_m\cdot(v_m-v_0) = 0 \Leftrightarrow \lambda_i = 0\forall i \end{eqnarray*}$ gilt.
Nun könnte ich also ausklammern und umsortieren und sagen, es kommt wieder Null raus, weil die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ja alle Null sind. Die Rückrichtung geht ja dann genau so.

Aber wenn ich ja ohnehin alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gleich Null wähle, ist das ja auch keine Überraschung, dass da Null rauskommt. Ich glaube, der Ansatz geht nicht. verwirrt

verwirrt

08.06.2022, 17:24

Leopold

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$\begin{align*} \lambda_0 \left( v_0 - v_1 \right) + \lambda_2 \left( v_2 - v_1 \right) + \lambda_3 \left( v_3 - v_1 \right) + \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{matrix} = \quad - \lambda_0 \left( v_1 - v_0 \right) & + \quad \lambda_2 \left( v_2 - v_0 \right) & + \quad \lambda_3 \left( v_3 - v_0 \right) & + \quad \ldots \\ & - \quad \lambda_2 \left( v_1 - v_0 \right) & - \quad \lambda_3 \left( v_1 - v_0 \right) & - \quad \ldots \end{matrix} \end{align*}$

$\begin{align*} = \quad \ldots \end{align*}$

08.06.2022, 17:34

Malcang

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Hallo Leopold,

deine Umformungen sehe ich ein, aber diese gehen doch "nur", weil die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ alle Null sind, oder? Genau da hänge ich nämlich. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} \lambda_0 \left( v_0 - v_1 \right) + \lambda_2 \left( v_2 - v_1 \right) + \lambda_3 \left( v_3 - v_1 \right) + \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} \begin{matrix} = \quad - \lambda_0 \left( v_1 - v_0 \right) & + \quad \lambda_2 \left( v_2 - v_0 \right) & + \quad \lambda_3 \left( v_3 - v_0 \right) & + \quad \ldots \\ & - \quad \lambda_2 \left( v_1 - v_0 \right) & - \quad \lambda_3 \left( v_1 - v_0 \right) & - \quad \ldots \end{matrix} \end{align*}$

$\begin{align*} = \quad \ldots \end{align*}$

$\begin{eqnarray*} =(-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m - \lambda_0)(v_1-v_0) + \lambda_2(v_2-v_0)+\dots+\lambda_m(v_m-v_0) \end{eqnarray*}$

08.06.2022, 17:45

Leopold

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Zitat:

Original von Malcang
weil die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ alle Null sind, oder? Genau da hänge ich nämlich. verwirrt

verwirrt

Nein, diese Umformung gilt immer. Sie transformiert eine Linearkombination bezüglich der zweiten Vektorreihe in eine Linearkombination bezüglich der ersten Vektorreihe.
Jetzt setze voraus, daß die erste Reihe aus linear unabhängigen Vektoren besteht. Was folgt gemäß dieser Transformation für die zweite Reihe?

Und überprüfe deine Fortsetzung der Rechnung. Da scheint mir etwas mit den Vorzeichen nicht zu stimmen.

08.06.2022, 18:07

Malcang

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Malcang
weil die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ alle Null sind, oder? Genau da hänge ich nämlich. verwirrt

verwirrt

Nein, diese Umformung gilt immer. Sie transformiert eine Linearkombination bezüglich der zweiten Vektorreihe in eine Linearkombination bezüglich der ersten Vektorreihe.
Jetzt setze voraus, daß die erste Reihe aus linear unabhängigen Vektoren besteht. Was folgt gemäß dieser Transformation für die zweite Reihe?

Ich suche zu krampfhaft nach den Nullen als Voraussetzung der linearen Unabhängigkeit, sorry, daher kann ich die Frage gerade nicht beantworten unglücklich

unglücklich

Ich meine, ich sehe ja die Vektorreihen, aber gerade nicht den Zusammenhang.

Den Vorzeichenfehler korrigiere ich gerade mal oben.

Also ich würde jetzt mal sagen, eine Linearkombination aus unabhängigen Vektoren ergibt mir ja nicht den Nullvektor. Und da ich jetzt eine LK der zweiten Vektorreihe überführt habe in eine der ersten Vektorreihe, ergibt mir dies eben auch nicht den Nullvektor und damit sind auch die ersten Vektoren linear unabhängig.

08.06.2022, 18:16

Leopold

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Voraussetzung:
Die $\begin{align*} v_i-v_0 \ \ (1 \leq i \leq m) \end{align*}$ sind linear unabhängig.

Behauptung
Die $\begin{align*} v_i-v_1 \ \ (i=0 \ \ \text{oder} \ \ 2 \leq i \leq m) \end{align*}$ sind linear unabhängig.

Um die Behauptung zu zeigen, gehen wir von einer Linearkombination aus, die den Nullvektor darstellt:

$\begin{align*} \lambda_0 \left( v_0 - v_1 \right) + \sum_{i=2}^m \lambda_i \left( v_i - v_1 \right) = 0 \end{align*}$

Jetzt mußt du nachweisen, daß $\begin{align*} \lambda_0 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_m = 0 \end{align*}$ folgt. Verwende dazu die Umformung aus meinem ersten Beitrag und nutze die Voraussetzung aus.

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08.06.2022, 18:24

Malcang

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Zitat:

Original von Leopold
Jetzt mußt du nachweisen, daß $\begin{align*} \lambda_0 = \lambda_2 = \ldots = \lambda_m = 0 \end{align*}$ folgt.

Genau das ist mein Problem. Denn das sind die ja nach Voraussetzung. Oder sollten die hier vielleicht $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ heißen?

Ah, ich glaube jetzt sehe ich das. Ich schreibe es mal auf.

$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_0(v_0-v_1) +\lambda_2(v_2-v_1) + \dots + \lambda_m(v_m-v_1) = -\lambda_0(v_1-v_0) + \lambda_2(v_2-v_0) + \dots + \lambda_m(v_m-v_0) + (-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m)(v_m-v_0) \end{eqnarray*}$ .
Da nach Voraussetzung die Vektoren $\begin{eqnarray*} (v_1 - v_0), \dots, (v_m-v_0) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, folgt $\begin{eqnarray*} -\lambda_0 = \lambda_2 = \dots = \lambda_m = (-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m) = 0 \end{eqnarray*}$ .

So?

08.06.2022, 18:54

Leopold

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Ja, so. Aber du bist noch nicht fertig.

08.06.2022, 18:56

Malcang

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Zitat:

Original von Leopold
Ja, so. Aber du bist noch nicht fertig.

Huch?

Aber alle geforderten Koeffizienten sind doch gefunden mit 0 verwirrt

verwirrt

08.06.2022, 19:05

Leopold

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Da ist noch ein Rechenfehler drin. Ganz hinten muß es $\begin{align*} v_1 - v_0 \end{align*}$ heißen und nicht $\begin{align*} v_m - v_0 \end{align*}$ .

08.06.2022, 21:01

Malcang

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Achja, das sehe ich ein. Danke sehr.

Meine Konklusion ist aber die richtige?

08.06.2022, 21:33

Leopold

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Ich weiß nicht genau, was du meinst. Du solltest jedenfalls nicht hopplahopp schließen, sondern sorgfältig Schritt für Schritt gehen. Aus der linearen Unabhängigkeit der $\begin{align*} v_i - v_0 \end{align*}$ kannst du in der Linearkombination auf das Verschwinden der Koeffizienten (der Linearkombination!) schließen. Das sind aber nicht einfach nur die $\begin{align*} \lambda_i \end{align*}$ .

08.06.2022, 21:41

Malcang

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Hm...

verwirrt

Meine Schlussfolgerung ist, dass $\begin{eqnarray*} -\lambda_0 = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss, also $\begin{eqnarray*} \lambda_0 = 0. \end{eqnarray*}$ Außerdem $\begin{eqnarray*} \lambda_i = 0 \forall 2\leq i \leq m \end{eqnarray*}$ .

08.06.2022, 22:10

Leopold

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Es ist einfach schwer, ein Urteil abzugeben, wenn unterwegs Fehler gemacht werden, diese Fehler aber nicht korrigiert werden, so daß man nicht weiß, worauf sich der Fragesteller bezieht und ob er die Sache jetzt durchschaut hat. Dann muß ich jetzt diese Arbeit für dich machen.

So endet die Rechnung:

$\begin{align*} \left( - \lambda_0 - \lambda_2 - \ldots - \lambda_m \right) \left( v_1 - v_0 \right) + \lambda_2 \left( v_2 - v_0 \right) + \ldots + \lambda_m \left( v_m - v_0 \right) = 0 \end{align*}$

Aus der linearen Unabhängigkeit der Vektoren dieser Linearkombination folgt:

$\begin{align*} - \lambda_0 - \lambda_2 - \ldots - \lambda_m = 0 \, , \ \lambda_2 = 0 \, , \ \ldots \, , \ \lambda_m = 0 \end{align*}$

Und jetzt ist das noch zu Ende zu bringen.

08.06.2022, 22:25

Malcang

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Ich habe das alles gelesen und verarbeitet, aber nachvollzogen wo nun noch etwas zu tun ist, habe ich leider nicht.

Du hast ja nun geschrieben:

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{align*} - \lambda_0 - \lambda_2 - \ldots - \lambda_m = 0 \, , \ \lambda_2 = 0 \, , \ \ldots \, , \ \lambda_m = 0 \end{align*}$

Und jetzt ist das noch zu Ende zu bringen.

Aber ich war der Meinung, dies ist bereits das Ende. Denn wir wollten ja:

Zitat:

Jetzt mußt du nachweisen, daß $\begin{eqnarray*} \lambda_0=\lambda_2 = \dots=\lambda_m=0 \end{eqnarray*}$ folgt

Und mit $\begin{eqnarray*} -\lambda_0 = 0 \end{eqnarray*}$ haben wir das doch nun.

Leopold, Ich gehe natürlich eher davon aus, dass ich etwas nicht verstehe oder übersehe, als das du etwas übersiehst. Verzeih mir daher bitte die viele Fragerei, ich sehe vielleicht auch nur den Wald nicht vor lauter Bäumen.

08.06.2022, 22:30

Leopold

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Ich weiß immer noch nicht, ob du es verstanden hast. Mathematik entsteht erst, wenn die Rechnungen und mathematischen Aussagen durch sinnvolle Floskeln und Sätze miteinander verbunden werden. Manchmal genügt ein Halbsatz, manchmal ein Stichwort. Und das fehlt mir hier irgendwie noch.

08.06.2022, 22:43

Malcang

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Voraussetzung:
Die $\begin{align*} v_i-v_0 \ \ (1 \leq i \leq m) \end{align*}$ sind linear unabhängig.

Behauptung
Die $\begin{align*} v_i-v_1 \ \ (i=0 \ \ \text{oder} \ \ 2 \leq i \leq m) \end{align*}$ sind linear unabhängig.

Um die Behauptung zu zeigen, gehen wir von einer Linearkombination aus, die den Nullvektor darstellt:

$\begin{align*} \lambda_0 \left( v_0 - v_1 \right) + \sum_{i=2}^m \lambda_i \left( v_i - v_1 \right) = 0 \end{align*}$ .

Es ist
$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_0(v_0-v_1) +\lambda_2(v_2-v_1) + \dots + \lambda_m(v_m-v_1) = -\lambda_0(v_1-v_0) + \lambda_2(v_2-v_0) + \dots + \lambda_m(v_m-v_0) + (-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m)(v_1-v_0) \end{eqnarray*}$ .
Da nach Voraussetzung die Vektoren $\begin{eqnarray*} (v_1 - v_0), \dots, (v_m-v_0) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, folgt $\begin{eqnarray*} -\lambda_0 = \lambda_2 = \dots = \lambda_m = (-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt:
$\begin{align*} \lambda_0 \left( v_0 - v_1 \right) + \sum_{i=2}^m \lambda_i \left( v_i - v_1 \right) = 0 \Rightarrow \lambda_0=0, \lambda_i = \forall 2\leq i \leq m \end{align*}$ .

Also sind die $\begin{eqnarray*} v_i-v_1 \ \ (i=0 \ \ \text{oder} \ \ 2 \leq i \leq m) \end{eqnarray*}$ ebenfalls linear unabhängig.

08.06.2022, 22:52

Leopold

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Jetzt habe ich deinen Denkfehler gefunden:

Zitat:

Original von Malcang
$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_0(v_0-v_1) +\lambda_2(v_2-v_1) + \dots + \lambda_m(v_m-v_1) = \color{red} -\lambda_0(v_1-v_0) \color{black} + \lambda_2(v_2-v_0) + \dots + \lambda_m(v_m-v_0) \color{red} + (-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m)(v_1-v_0) \end{eqnarray*}$ .
Da nach Voraussetzung die Vektoren $\begin{eqnarray*} (v_1 - v_0), \dots, (v_m-v_0) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind

Die Vektoren $\begin{align*} \color{red} v_1 - v_0, \color{black} \, v_2 - v_0, \, v_3 - v_0, \, \ldots, \, v_m - v_0 . \color{red} \, v_1 - v_0 \end{align*}$ sind linear abhängig.

08.06.2022, 23:00

Malcang

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Jetzt bin ich vollends verwirrt, was aber an der Müdigkeit liegt.

Würde mich freuen, wenn du morgen nochmal reinschaust.

Vielen Dank und Gute nacht smile

smile

08.06.2022, 23:12

Leopold

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Die Vektoren $\begin{align*} v,v \end{align*}$ sind linear abhängig. Eine nichttriviale Linearkombination gefällig?

$\begin{align*} 2022v - 2022v = 0 \end{align*}$

Oder so:

$\begin{align*} -\pi v + \pi v = 0 \end{align*}$

09.06.2022, 12:24

Malcang

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Guten Tag,

ich habe den Beweis nochmal aufgeschrieben aber nur den einen Schritt in der Rechnung verändert (siehe den Absatz in der Latex-Umgebung).

Voraussetzung:
Die $\begin{align*} v_i-v_0 \ \ (1 \leq i \leq m) \end{align*}$ sind linear unabhängig.

Behauptung
Die $\begin{align*} v_i-v_1 \ \ (i=0 \ \ \text{oder} \ \ 2 \leq i \leq m) \end{align*}$ sind linear unabhängig.

Um die Behauptung zu zeigen, gehen wir von einer Linearkombination aus, die den Nullvektor darstellt:

$\begin{align*} \lambda_0 \left( v_0 - v_1 \right) + \sum_{i=2}^m \lambda_i \left( v_i - v_1 \right) = 0 \end{align*}$ .

Es ist
$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_0(v_0-v_1) +\lambda_2(v_2-v_1) + \dots + \lambda_m(v_m-v_1) = -\lambda_0(v_1-v_0) + \lambda_2(v_2-v_0) + \dots + \lambda_m(v_m-v_0) + (-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m)(v_1-v_0) <br /> = \lambda_2(v_2-v_0) + \dots + \lambda_m(v_m-v_0) + (-\lambda_0-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m)(v_1-v_0). \end{eqnarray*}$
Da nach Voraussetzung die Vektoren $\begin{eqnarray*} (v_1 - v_0), \dots, (v_m-v_0) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, folgt $\begin{eqnarray*} -\lambda_0 = \lambda_2 = \dots = \lambda_m = (-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt:
$\begin{align*} \lambda_0 \left( v_0 - v_1 \right) + \sum_{i=2}^m \lambda_i \left( v_i - v_1 \right) = 0 \Rightarrow \lambda_0=0, \lambda_i = \forall 2\leq i \leq m \end{align*}$ .

Also sind die $\begin{eqnarray*} v_i-v_1 \ \ (i=0 \ \ \text{oder} \ \ 2 \leq i \leq m) \end{eqnarray*}$ ebenfalls linear unabhängig.

09.06.2022, 12:32

Leopold

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Immer noch nicht.

Zitat:

Original von Malcang
Es ist
$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_0(v_0-v_1) +\lambda_2(v_2-v_1) + \dots + \lambda_m(v_m-v_1) = -\lambda_0(v_1-v_0) + \lambda_2(v_2-v_0) + \dots + \lambda_m(v_m-v_0) + (-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m)(v_1-v_0) <br /> = \lambda_2(v_2-v_0) + \dots + \lambda_m(v_m-v_0) + (-\lambda_0-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m)(v_1-v_0). \end{eqnarray*}$
Da nach Voraussetzung die Vektoren $\begin{eqnarray*} (v_1 - v_0), \dots, (v_m-v_0) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, folgt $\begin{eqnarray*} \color{red} -\lambda_0 = \lambda_2 = \dots = \lambda_m = (-\lambda_2 - \lambda_3 - \dots - \lambda_m) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Zunächst folgt nur:

$\begin{align*} \color{green} \lambda_2 = \ldots = \lambda_m = - \lambda_0 - \lambda_2 - \ldots - \lambda_m = 0 \end{align*}$

09.06.2022, 12:53

Malcang

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Also ich weiß beim besten Willen nicht worauf du hinauswillst. Darauf, dass aus $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = ... = \lambda_m = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\lambda_0 - \lambda_2 - ...-\lambda_m = 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \lambda_0 = 0 \end{eqnarray*}$ folgt?

09.06.2022, 12:59

Leopold

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Genau in dieser Reihenfolge stimmen die Argumente.

09.06.2022, 13:01

Malcang

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ok danke!

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