fn konvergiert in 2-Norm gegen f

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Konsscha Auf diesen Beitrag antworten »
fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Hallo, ich habe die folgende Aufgabe gegeben:


Geben Sie eine Folge von Funktionen mit den folgenden Eigenschaften an:
a) konvergiert in 2-Norm gegen
b) Unendlich Norm von für

Jetzt habe ich nur leider das Problem, dass ich nicht weiß, was mir a) sagen soll.
Die 2-Norm müsste ja in diesem Fall mit lauten, aber was bedeutet hier konkret?
Da das Ergebnis des Integrals eine Zahl ist, muss f doch schließlich auch eine Zahl sein oder liege ich hier falsch?
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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
a) bedeutet
Konsscha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Besten Dank, das hat mir schon etwas weitergeholfen!

Aufgrund der Quadrierung denke ich, dass

nur durch

zu lösen ist.

Demnach muss sein. Um das zu erreichen, könnte ich beispielsweise wählen.

Für Eigenschaft b) muss ich die Folge aber so abändern, dass ihre obere Grenze für gegen unendlich geht.
Das wäre zum Beispiel der Fall bei

Ich könnte mir vorstellen, die 2 Funktionen über

zu verbinden.

Dagegen spricht aber, dass .

An dieser Stelle brauche ich wieder Hilfe. Wie kann ich die 2 Eigenschaften ohne Widerspruch vereinen?
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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Zitat:
Original von Konsscha
Aufgrund der Quadrierung denke ich, dass

nur durch

zu lösen ist.

Da irrst du dich. Die letzte Beziehung, die wohl für alle gelten soll, bedeutet punktweise Konvergenz der Folge . Sie hat nichts mit der -Konvergenz zu tun, d.h. weder folgt aus punktweiser Konvergenz die Konvergenz in noch umgekehrt.
Typische Gegenbeispiele sind Dreicksfunktionen auf [0,1], bei denen man die Grundlinie immer schmaler und die Höhe des Dreiecks immer größer macht.
Überleg dir, was das für die -Norm und für die -Norm dieser Dreiecksfunktionen bedeutet.

Edit: Mit deinen abschnittsweise definierten Funktionen bist du übrigens schon auf einem guten Weg. Damit klappt es auch, ich finde sie nur zu kompliziert. smile
Konsscha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Jetzt steh' ich leider total auf dem Schlauch.

stellt punktweise Konvergenz dar. Das meine ich noch verstanden zu haben.

Doch wieso ist
Zitat:

nur durch

falsch? Ich sehe hier keine andere Möglichkeit.

Bei einer von dir angesprochenen Dreiecksfunktion stelle ich mir z.B. vor.
Für und müssten


sein. Liege ich damit richtig?
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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Damit liegst du richtig.
Und du hast auch gleich ein Beispiel für -Konvergenz ohne punktweise Konvergenz: Die Grenzfunktion der bzgl. ist .
Wegen existiert aber der Grenzwert für t=0 nicht.
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Um etwas allgemeines zu den Konvergenzen zu sagen:
Tatsächlich folgt aus , dass eine Teilfolge existiert mit punktweise fast überall. Man kann auf die Wahl der Teilfolge hier leider nicht verzichten, falls .

Andernfalls: Wenn punktweise fast überall UND wir haben eine weitere starke Bedingung wie Monotonie oder integrierbare Majorante, so folgt auch in falls .

Zwar sind die Bedingungen nicht direkt äquivalent, aber zu sagen die haben nichts miteinander zu tun wäre auch zu pessimistisch Augenzwinkern
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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Ich korrigiere: Sie haben in erster Ordnung nichts miteinander zu tun Big Laugh
@IfindU: Danke für die Ergänzungen Wink
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