fn konvergiert in 2-Norm gegen f

09.06.2022, 09:01

Konsscha

fn konvergiert in 2-Norm gegen f

Hallo, ich habe die folgende Aufgabe gegeben:

$\begin{eqnarray*} f \in C[0,1],\:f(t)= t \end{eqnarray*}$
Geben Sie eine Folge von Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n\in C[0,1] \end{eqnarray*}$ mit den folgenden Eigenschaften an:
a) $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvergiert in 2-Norm gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$
b) Unendlich Norm von $\begin{eqnarray*} f_n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich nur leider das Problem, dass ich nicht weiß, was mir a) sagen soll.
Die 2-Norm müsste ja in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \sqrt{\int_{0}^{1} \! | f_n(t) |^2 \, dt } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ lauten, aber was bedeutet $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hier konkret?
Da das Ergebnis des Integrals eine Zahl ist, muss f doch schließlich auch eine Zahl sein oder liege ich hier falsch?

09.06.2022, 09:05

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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
a) bedeutet $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\|f_n-f\|_2=\lim_{n\to \infty}\sqrt{\int_{0}^{1} \! | f_n(t)-f(t) |^2 \, dt } =0 \end{eqnarray*}$

09.06.2022, 12:56

Konsscha

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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Besten Dank, das hat mir schon etwas weitergeholfen!

Aufgrund der Quadrierung denke ich, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sqrt{\int_{0}^{1} \! | f_n(t)-f(t) |^2 \, dt } =0 \end{eqnarray*}$
nur durch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}f_n(t)-f(t) =0 \end{eqnarray*}$
zu lösen ist.

Demnach muss $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}f_n(t) = f(t) \end{eqnarray*}$ sein. Um das zu erreichen, könnte ich beispielsweise $\begin{eqnarray*} f_n(t)=t+\frac{t}{n} \end{eqnarray*}$ wählen.

Für Eigenschaft b) muss ich die Folge aber so abändern, dass ihre obere Grenze für $\begin{eqnarray*} n\rightarrow\infty \end{eqnarray*}$ gegen unendlich geht.
Das wäre zum Beispiel der Fall bei $\begin{eqnarray*} f_n(t)=n-n^{10}t \end{eqnarray*}$

Ich könnte mir vorstellen, die 2 Funktionen über
$\begin{eqnarray*} f_n(t)=\begin{cases}<br /> n-n^{11}t,& 0\leqslant t \leqslant \frac{1}{n^{10}} \\<br /> t+\frac{t}{n},& \frac{1}{n^{10}}< t \leqslant 1 \\<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$
zu verbinden.

Dagegen spricht aber, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}n-n^{11}t \neq f(t)~~~für~t=0 \end{eqnarray*}$ .

An dieser Stelle brauche ich wieder Hilfe. Wie kann ich die 2 Eigenschaften ohne Widerspruch vereinen?

09.06.2022, 16:32

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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f

Zitat:

Original von Konsscha
Aufgrund der Quadrierung denke ich, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sqrt{\int_{0}^{1} \! | f_n(t)-f(t) |^2 \, dt } =0 \end{eqnarray*}$
nur durch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}f_n(t)-f(t) =0 \end{eqnarray*}$
zu lösen ist.

Da irrst du dich. Die letzte Beziehung, die wohl für alle $\begin{eqnarray*} t\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gelten soll, bedeutet punktweise Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ . Sie hat nichts mit der $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ -Konvergenz zu tun, d.h. weder folgt aus punktweiser Konvergenz die Konvergenz in $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ noch umgekehrt.
Typische Gegenbeispiele sind Dreicksfunktionen auf [0,1], bei denen man die Grundlinie immer schmaler und die Höhe des Dreiecks immer größer macht.
Überleg dir, was das für die $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ -Norm und für die $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_\infty \end{eqnarray*}$ -Norm dieser Dreiecksfunktionen bedeutet.

Edit: Mit deinen abschnittsweise definierten Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ bist du übrigens schon auf einem guten Weg. Damit klappt es auch, ich finde sie nur zu kompliziert. smile

09.06.2022, 23:23

Konsscha

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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Jetzt steh' ich leider total auf dem Schlauch.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}f_n(t)-f(t) =0 \end{eqnarray*}$ stellt punktweise Konvergenz dar. Das meine ich noch verstanden zu haben.

Doch wieso ist

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sqrt{\int_{0}^{1} \! | f_n(t)-f(t) |^2 \, dt } =0 \end{eqnarray*}$
nur durch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}f_n(t)-f(t) =0 \end{eqnarray*}$

falsch? Ich sehe hier keine andere Möglichkeit.

Bei einer von dir angesprochenen Dreiecksfunktion stelle ich mir z.B. $\begin{eqnarray*} d_n(t)=\begin{cases}\\ n-|t|\cdot n^3,& 0\leqslant t \leqslant\frac{1}{n^2} \ \\\\ 0,& t > \frac{1}{n^2}\ \\\\ \end{cases} \end{eqnarray*}$ vor.
Für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ müssten
$\begin{eqnarray*} ||\cdot||_\infty=n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||\cdot||_2=0 \end{eqnarray*}$
sein. Liege ich damit richtig?

10.06.2022, 00:19

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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Damit liegst du richtig.
Und du hast auch gleich ein Beispiel für $\begin{eqnarray*} \|\cdot \||_2 \end{eqnarray*}$ -Konvergenz ohne punktweise Konvergenz: Die Grenzfunktion der $\begin{eqnarray*} d_n \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} d=0 \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} d_n(0)=n \end{eqnarray*}$ existiert aber der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} d_n(t) \end{eqnarray*}$ für t=0 nicht.

10.06.2022, 07:44

IfindU

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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Um etwas allgemeines zu den Konvergenzen zu sagen:
Tatsächlich folgt aus $\begin{eqnarray*} \| f_n - f\|_p \to 0 \end{eqnarray*}$ , dass eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (n_k) \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f_{n_k} \to f \end{eqnarray*}$ punktweise fast überall. Man kann auf die Wahl der Teilfolge hier leider nicht verzichten, falls $\begin{eqnarray*} p \neq \infty \end{eqnarray*}$ .

Andernfalls: Wenn $\begin{eqnarray*} f_n \to f \end{eqnarray*}$ punktweise fast überall UND wir haben eine weitere starke Bedingung wie Monotonie oder integrierbare Majorante, so folgt auch $\begin{eqnarray*} f_n \to f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} p \neq \infty \end{eqnarray*}$ .

Zwar sind die Bedingungen nicht direkt äquivalent, aber zu sagen die haben nichts miteinander zu tun wäre auch zu pessimistisch Augenzwinkern

10.06.2022, 11:23

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RE: fn konvergiert in 2-Norm gegen f
Ich korrigiere: Sie haben in erster Ordnung nichts miteinander zu tun Big Laugh

@IfindU: Danke für die Ergänzungen Wink

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