Komplexe, rekursive Folge konvergiert

10.06.2022, 07:10

tom_1183

Komplexe, rekursive Folge konvergiert

Meine Frage:
Sei ein festes c aus den komplexen Zahl gegeben mit |c| < 1/4.
an+1= an^2 + c mit a0=0.

Zu zeigen ist, dass die Folge konvergiert.

Meine Ideen:
Meine Idee ist, dass die obere Schranke für den Betrag ja 1/4+c ist.
Und ich denke, dass die Folge eine Cauchyfolge ist, dafür haben wir in der Vorlesung beweisen, dass für die |an+1 - an| < q^n für q<1. Aber wie bekomme ich das als Beweis zusammen und stimmt das überhaupt?

Vielen Dank für jede Hilfe und jeden Tipp!

10.06.2022, 09:25

HAL 9000

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Mandelbrot-Iteration

Zitat:

Original von tom_1183
Meine Idee ist, dass die obere Schranke für den Betrag ja 1/4+c ist.

Allenfalls $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}+|c| \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist ja komplex!!! Diese Schranke scheint richtig zu sein, kannst du sie auch beweisen? Eine genauere Schranke ist übrigens $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-|c|} \end{eqnarray*}$ , was im Falle von positiv reellen $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zugleich auch der Grenzwert der Folge ist.

Cauchy-Folge ist eine gute Idee, schätzen wir doch mal ab

$\begin{eqnarray*} \left|a_{n+1}-a_n\right| = \left| a_n^2 - a_{n-1}^2\right| = \left| a_n + a_{n-1}\right|\cdot \left| a_n - a_{n-1}\right| \end{eqnarray*}$

Nun ist gemäß deiner Schrankenabschätzung $\begin{eqnarray*} \left| a_n + a_{n-1}\right|\leq \left| a_n\right| + \left| a_{n-1}\right|\leq \frac{1}{2}+2|c| =:q \end{eqnarray*}$ .

Gemäß Voraussetzung $\begin{eqnarray*} |c|<\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist damit $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ und wir haben

$\begin{eqnarray*} \left|a_{n+1}-a_n\right| \leq q\cdot \left| a_n - a_{n-1}\right| \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \left|a_{n+1}-a_n\right| \leq q^n\cdot \left| a_1 - a_0\right| = q^n |c| \end{eqnarray*}$

Das bedeutet per Abschätzung durch geometrische Reihe für alle $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|a_m-a_n\right| \leq \sum_{k=n}^{m-1} \left|a_{k+1}-a_k\right| \leq \sum_{k=n}^{m-1} q^k |c| = \frac{q^n-q^m}{1-q}|c| < \frac{q^n}{1-q}|c|\to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ,

damit ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge.

https://de.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-Menge

EDIT (15.6.): Anfrage abgesetzt, und direkt danach in Urlaub gereist? verwirrt

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