Tangenten am Kreis und Inkreismittelpunkt

10.06.2022, 22:35

Malcang

Tangenten am Kreis und Inkreismittelpunkt

Guten Abend smile

Ich sitze gerade an dieser Aufgabe:
[attach]55331[/attach]
Dazu habe ich eine Skizze gemacht. Die grünen Gerade sind die Winkelhalbierenden.
[attach]55332[/attach]

Wie immer in Geometrie weiß ich nicht, welche Winkel und Strekcne ich mal betrachten sollte und bin damit leider komplett überfordert verwirrt

Welchen Winkel sollte ich mir mal zuerst anschauen?

10.06.2022, 22:41

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \triangle CMA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \triangle CMB \end{eqnarray*}$ sind kongruent gemäß SsW. Daher ist $\begin{eqnarray*} |\angle MCA| = |\angle MCB| \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} MC \end{eqnarray*}$ Winkelhalbierende von $\begin{eqnarray*} \angle BCA \end{eqnarray*}$ . Da der Inkreismittelpunkt auf allen drei Innenwinkelhalbierenden eines Dreiecks liegen muss, war's das schon.

10.06.2022, 22:55

Malcang

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Hallo HAL 9000, vielen Dank für die Antwort.

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \triangle CMA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \triangle CMB \end{eqnarray*}$ sind kongruent gemäß SsW. Daher ist $\begin{eqnarray*} |\angle MCA| = |\angle MCB| \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} MC \end{eqnarray*}$ Winkelhalbierende von $\begin{eqnarray*} \angle BCA \end{eqnarray*}$ .

Bis hierher kann ich folgen.

Zitat:

Original von HAL 9000
Da der Inkreismittelpunkt auf allen drei Innenwinkelhalbierenden eines Dreiecks liegen muss, war's das schon.

Hm, das erschließt sich mir leider nicht. Ich weiß ja nun, dass die Strecke $\begin{eqnarray*} CM \end{eqnarray*}$ die Winkelhalbierende des Winkels $\begin{eqnarray*} \angle BCA \end{eqnarray*}$ ist. Aber woher weiß ich, dass der Schnittpunkt mit einer anderen Winkelhalbierenden nun der Schnittpunkt auf dem Kreis ist. Was übersehe ich?

10.06.2022, 23:27

HAL 9000

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Ok, da hatte ich die Hälfte vergessen - sollte wohl mal meine Brille putzen. Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ der Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} CM \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ der Schnittpunkt von $\begin{eqnarray*} CM \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ . Dann gilt nach Kreiswinkelsatz

$\begin{eqnarray*} |\angle PAB| = \frac{1}{2}|\angle PMB| \end{eqnarray*}$ ,

Nun sind die rechtwinkligen Dreiecke $\begin{eqnarray*} \triangle CMB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \triangle CAQ \end{eqnarray*}$ ähnlich, daher gilt

$\begin{eqnarray*} |\angle PMB| = |\angle CMB|\stackrel{!}{=} |\angle CAQ| = |\angle CAB| \end{eqnarray*}$ , insgesamt also

$\begin{eqnarray*} |\angle PAB| = \frac{1}{2}|\angle CAB| \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} AP \end{eqnarray*}$ auch Winkelhalbierende von $\begin{eqnarray*} \angle CAB \end{eqnarray*}$ , und damit ist $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ der Inkreismittelpunkt von $\begin{eqnarray*} \triangle ABC \end{eqnarray*}$ .

10.06.2022, 23:39

Malcang

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Das schaue ich mir morgen frisch ausgeschlafen an. Vielen Dank und gute Nacht Big Laugh

11.06.2022, 09:02

Malcang

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Guten Morgen HAL 9000 und natürlich guten morgen an Alle Big Laugh

vielen Dank für den Beweis, diesen habe ich vollkommen nachvollzogen! Freude

Eine Frage habe ich noch:
Das die Dreiecke $\begin{eqnarray*} CMB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} CAQ \end{eqnarray*}$ ähnlich sind, folgt ja aus der Gleichheit zweier und damit aller Winkel. Es ist $\begin{eqnarray*} \angle BCM = \angle MAC = \frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ . Weiterhin ist $\begin{eqnarray*} \angle MBC = 90° \end{eqnarray*}$ . Nun sehe ich zwar, dass $\begin{eqnarray*} \angle AQC = 90° \end{eqnarray*}$ ist, aber es ist noch nicht so ganz ersichtlich, warum verwirrt

11.06.2022, 09:10

HAL 9000

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Das solltest du eigentlich aus

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \triangle CMA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \triangle CMB \end{eqnarray*}$ sind kongruent

folgern können: Denn damit geht $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ durch Spiegelung an CM hervor, was automatisch $\begin{eqnarray*} AB\perp CM \end{eqnarray*}$ bedeutet.

11.06.2022, 09:16

Malcang

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Perfekt, habe alles nachvollziehen können! Freude

Vielen Dank für die Hilfe! Wink

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