Symmetrische Bilinearform

11.06.2022, 12:42

toyota

Symmetrische Bilinearform

Meine Frage:
Auf P3(R) betrachten wir die symmetrische Bilineaform s, die gegeben ist durch das Integral:

s(f,g):=1/2 -1 S 1 f(t)g(t) dx

Bestimmen Sie die darstellende Matrix von s bezüglich der geordneten
Basis A = {1, t, t^2, t^3}

Dei Lösung:
Beweis: (MA (s))i,j = s(t^i-1, t^j-1) =1/2 -1 S 1t^i+j-2 dt =

=1/2*1+(-1)^i+j/(i+j-1)

daraus folgt die darstellende Matrix

MA (s)= (1 0 1/3 0 0 1/3 0 1/5 1/3 0 1/5 0 0 1/5 0 1/7

Meine Ideen:
Ichkomme mit dieser Aufgabe, also eine symmetrische Bilinearform gegeben durch ein Integral und die entsprechende darstellende Matrix zu bestimmen ist, nicht klar .(Ich habe schon lange gebraucht, um die darstellende Matrix zu begreifen). Deshalb wäre es gut, wenn jemand mir soweit möglich die Rechenschritte erklären könnte. Ich hoffe, es ist lesbar.
Vielen Dank im Voraus für die Unterstützung

11.06.2022, 12:49

Samsara

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RE: Es geht um eine sym. Bilinearform s, die durch ein Integral gegeben ist
Ich versuche die darstellende Matrix MA (s) noch mal auf zuschreiben

=(1 0 1/3 0 0 1/3 0 1/5 1/3 0 1/5 0 0 1/5 0 1/7)

11.06.2022, 12:51

Samsara

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RE: Es geht um eine sym. Bilinearform s, die durch ein Integral gegeben ist
Zur Sicherheit, es handelt sich um eine 4 x 4 Matrix

11.06.2022, 14:58

Finn_

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Gleichartiger Abwasch wie bei deiner Vorgänger-Aufgabe. Zu der gegebenen Basis $\begin{eqnarray*} A=(a_1,a_2,a_3,a_4) \end{eqnarray*}$ lässt sich die Darstellungsmatrix gemäß

$\begin{eqnarray*} M_A(s)_{i,j} = e_i^T M_A(s)e_j = s(a_i,a_j) \end{eqnarray*}$

berechnen. Warum? Weil $\begin{eqnarray*} s(f,g) = f_A^T M_A(s) g_A \end{eqnarray*}$ gelten soll. Die Basis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ induziert das (bijektive lineare) Koordinatensystem $\begin{eqnarray*} \Phi_A\colon\mathbb R^4\to P_3(\mathbb R), \end{eqnarray*}$ das die Beziehungen $\begin{eqnarray*} f=\Phi_A(f_A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g = \Phi_A(g_A) \end{eqnarray*}$ herstellt. Insbesondere gilt $\begin{eqnarray*} a_i = \Phi_A(e_i) \end{eqnarray*}$ für die Basisvektoren, wobei mit $\begin{eqnarray*} (e_1,e_2,e_3,e_4) \end{eqnarray*}$ wie üblich die Standardbasis gemeint ist. Mit der Einsetzung $\begin{eqnarray*} f_A:=e_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_A:=e_j \end{eqnarray*}$ ergibt sich die Einsicht.

16.06.2022, 04:39

Samsara

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Ich bin hier jetzt zwar etwas weiter, aber mir sind unter anderem die Zahlen in einer 4 x 4 Matrix, die im handschriftlichen Anhang beschrieben ist nicht klar. Der Beweis fängt wie folgt an:

Es gilt (MA(s))i,j = s(t^i-1,t^j-1) = 1/2 -1 S 1 t^i+j-2 dt =1/2*1+(-1)^i+j/(i+j-1)

ist mir leider auch noch nicht klar, oder ich sehe es noch nicht. Die erste Hilfestellung hat mir etwas geholfen. Ich bin exakt erst jetzt etwas weiter, aber noch nicht so weit, dass ich die hier aufgelisteten Schritte nachvollziehen kann.

daraus folgt dann MA(s) = (1 0 1/3 0 0 1/3 0 1/5 1/3 0 1/5 0 0 1/5 0 1/7), die ich hier sicherheitshalber noch mal so aufschreibe.

Bei der anderen Aufgabe, bin ich jetzt schon ziemlich weit. Da habe ich dann gesehen, dass es was mit ausmultiplizieren und abzählen zu tun hat. Es hat aber schon etwas gedauert. Auch wenn es genauso einfach ist, ich sehe es einfach noch nicht und wäre deshalb für weiter Hilfe dankbar.

16.06.2022, 08:08

Finn_

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Vorab, du kannst Formeln in TeX formulieren, die kommen in BBCode l, oder alternativ BBCode latex. Du tippst

code:

1:

[l]M_A(s) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1/3 & 0\\ 0 & 1/3 & 0 & 1/5\\ 1/3 & 0 & 1/5 & 0\\ 0 & 1/5 & 0 & 1/7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{3} & 0\\ 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{5} & 0\\ 0 & \frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{7}\end{pmatrix}[/l]

ein und betätigst den Vorschau-Button, dann steht da

$\begin{eqnarray*} M_A(s) = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1/3 & 0\\ 0 & 1/3 & 0 & 1/5\\ 1/3 & 0 & 1/5 & 0\\ 0 & 1/5 & 0 & 1/7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{3} & 0\\ 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{5} & 0\\ 0 & \frac{1}{5} & 0 & \frac{1}{7}\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Siehe auch Hilfe:TeX in den Hilfeseiten von Wikipedia. Du kannst dir den TeX-Code eines Beitrags im Forum mit dem Button Zitat anschauen.

Die Aufgabe baut auf den Prinzipien auf, die im Video Change of basis | Chapter 13, Essence of linear algebra von Grant Sanderson und meinen Folien Was ist ein Basiswechsel? und Was ist eine Darstellungsmatrix? beschrieben sind.

Beachte $\begin{eqnarray*} a_i(t) = t^{i-1}. \end{eqnarray*}$ Das macht

$\begin{eqnarray*} s(a_i,a_j) = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} a_i(t)a_j(t)\,\mathrm dt = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}t^{i-1} t^{j-1}\,\mathrm dt. \end{eqnarray*}$

Mit dem CAS Maxima lässt sich die Berechnung per

code:
1: 2:	MAs(i, j) := 1/2integrate(t^(i-1)t^(j-1), t, -1, 1); genmatrix(lambda ([i, j], MAs(i, j)), 4, 4);

automatisieren.

24.06.2022, 15:03

Samsara

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Ich muss doch noch mal auf dieses Aufgabe zurückkommen und hoffe nun, dass es mit latex funktioniert.

Ich weiß nicht, wie ich [latex]t^{i+j-2}[/[latex] das integrieren kann.

24.06.2022, 15:08

Samsara

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RE: Symmetrische Bilinearform
\begin t^{i+j-2}[/1]

24.06.2022, 15:29

Samsara

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RE: Symmetrische Bilinearform
Tut mir leid, aber ich mache für die Latex Schreibweise was falsch. Darum jetzt noch mal anders.

Mir ist nicht klar, wie ich t^i+j-2 integriereren muss. Es muss ja nach dem Hauptsatz der Analysis

dann bei dieser symm. Bilinearform stehen 1/2*1+(-1)^i+j/(i+j-1). Um zunächst auf das Integrieren

zu kommen. Es muss ja dann 2t^i+j-3 ?. Mir ist jetzt eigentlich klar, dass ich für i und j die Basiswerte

einsetzten muss. Bei 1 dann 1 ?, t^1,.. Ich hoffe zwar, dass mir das noch selbst klar wird. Da ich das

nun schon so lange im Kopf habe, wäre es trotzdem gut, wenn ich hier noch einmal Hilfe bekäme.

24.06.2022, 18:31

Finn_

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Gesucht ist das Integral einer Potenzfunktion. In der Formelsammlung für die Oberstufe nachschlagen; dort steht

$\begin{eqnarray*} \int x^n\,\mathrm dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\quad \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb Z,\, n\ne -1. \end{eqnarray*}$

Aber Vorsicht: Für das bestimmte Integral muss $\begin{eqnarray*} n\ge 0 \end{eqnarray*}$ sein, damit man nicht über eine Polstelle integriert, was verboten ist.

Es findet sich

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 t^n\,\mathrm dt = \left[\frac{t^{n+1}}{n+1}\right]_{-1}^1 = \frac{1}{n+1}[t^{n+1}]_{-1}^1 = \frac{1}{n+1}(1^{n+1}-(-1)(-1)^n) = \frac{1+(-1)^n}{n+1}. \end{eqnarray*}$

Für die Einsetzung $\begin{eqnarray*} n:=i+j-2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} n\ge 0, \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 t^{i+j-2}\,\mathrm dt = \frac{1}{i+j-1}(1+(-1)^{i+j}\underbrace{(-1)^{-2}}_{=1}) = \frac{1+(-1)^{i+j}}{i+j-1}. \end{eqnarray*}$

Schließlich noch den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \tfrac{1}{2} \end{eqnarray*}$ hinzufügen, um den Wert der Bilinearform zu erhalten.

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