Varianz und Standardabweichung

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MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz und Standardabweichung
Liebe Forumsgemeinde,
im Bild mal eine Schulaufgabe (Österreich) und meine Lösung dazu.
Was ich nicht verstehe - aber vielleicht habe ich ja auch einen Fehler gemacht - ist:

Wenn ich einen Erwartungswert von 8,24 habe, wieso kann dann eine Standardabweichung größer asl der Erwartungswert sein? Es heißt doch, dass di8e Standardabweichung eine Abweichung vom Erwartungswert nach oben und nach UNTEN mit ist?
Danke für Antwort
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz und Stabdardabweichung
Die Varianz ist nicht richtig berechnet. Mit gilt



oder alternativ



Die von dir verwendete Formel ist nur richtig, wenn alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Sie wird auch verwendet, um aus einer Stichprobe einen Schätzwert für die Varianz zu bekommen. Dabei wird aber üblicherweise durch geteilt statt durch . Hier liegt aber keine Stichprobe aus einer Verteilung vor, sondern die Verteilung selbst ist gegeben.

Zwischen Varianz bzw. Standardabweichung und Erwartungswert besteht keine bestimmte Relation. Das Verhältnis kann beliebige Werte annehmen.
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz und Stabdardabweichung
Dake für die Antwort.
Wäre es denn jetzt richtig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz und Stabdardabweichung
Der Faktor bei dir bei im Nenner gehört da nicht hin. Korrekt ist

MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz und Stabdardabweichung
Zitat:
Original von Huggy
Der Faktor bei dir bei im Nenner gehört da nicht hin. Korrekt ist



OK, danke, aber dann bekomme ich wieder eine Standardabweichung, die größer ist als der Erwartungswert. Und da frage ich mich, wieso ist dann die Standardabweichung die Abweichung vom Mittelwert nach oben und nach unten?
Liebe Grüße
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz und Stabdardabweichung
Mir ist nicht klar, weshalb du erwartest, dass die Standardabweichung kleiner als der Erwartungswert sein sollte. Ja, die Standardabweichung ist ein Maß für die Abweichung vom Erwartungswert. Aber weshalb sollte dieses Maß immer kleiner als der Erwartungswert sein?

Sei eine Zufallsgröße mit Erwartungswert und Standardabweichung . Jetzt betrachten wir die Zufallsvariable



mit einer Konstanten .

Dann ist und . Durch diese Transformation kann man die Relation zwischen Erwartungswert und Standardabweichung beliebig ändern. Insbesondere ist bei der Wahl dann und damit zwangsläufig .
 
 
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz und Stabdardabweichung
Zitat:
Original von Huggy

Dann ist und . Durch diese Transformation kann man die Relation zwischen Erwartungswert und Standardabweichung beliebig ändern. Insbesondere ist bei der Wahl dann und damit zwangsläufig .


Das mag ja rechnerisch und theoretisch alles richtig sein. Ich frage mich nur in meinem Fall, wo ja E(X)=8,24 € ist und dann was dann praktisch auf hinausläuft, welchen praktischen Sinn das hat.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz und Stabdardabweichung
Die Glocke wird nun mal gerne als Allzweckverteilung verwendet, auch wenn sie nicht immer passt. Anbieten würde sich hier die Lognormalverteilung, aber man wollte die Schüler wohl nicht überfordern.

Viele Grüße
Steffen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz und Stabdardabweichung
Mit dem praktischen Sinn ist das immer so eine Sache. Es ist jedenfalls so, dass bei einer Zufallsgröße, die nur positive Werte annimmt (hier die Gewinne), negativ werden kann. Das liegt hier an der Schiefe der Verteilung. Es gibt kleine Gewinne mit relativ hoher Wahrscheinlichkeit und einen großen Gewinn mit kleiner Wahrscheinlichkeit. Wenn man eine solche Verteilung durch wenige Größen charakterisieren möchte, reichen Erwartungswert und Standardabweichung nicht aus. Man muss dann jedenfalls noch die Schiefe hinzunehmen.
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