Gradient/Niveaulinien/Richtung bestimmen

12.06.2022, 11:45	Barbaraaaaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient/Niveaulinien/Richtung bestimmen Guten Tag, ich habe folgende Übung zu lösen und stehe etwas auf dem Schlauch: Wir stellen uns $\begin{eqnarray} f(x,y) = \frac{1}{10} (x^2 + y^2 -xy) \end{eqnarray}$ als eine Landschaft vor. a) Eine Straße durch unsere Landschaft ist mit t -> (t,2t,f(t,2t)) gegeben. Was ist die prozentuale Steigerung dieser Straße im Punkt (1,2,f(1,2)) ? b) Sei $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ eine Niveaulinie durch (1,2,f(1,2)), also eine Kurve $\begin{eqnarray} t -> (l_{1}(t), l_{2}(t), l_{3}(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} l_{3}(t) \end{eqnarray}$ konstant. In welche Richtung läuft $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ im Punkt (1,2,f(1,2)) ? c) In welche Richtung im (1,2,f(1,2)) steigt die Landschaft am Meisten? Also, mein (Verständnis-)problem ist, ich hätte bei a jetzt den Gradienten von f(x,y) gebildet und dann den Punkt eingesetzt... was mich irritiert ist, ist dass ich bei f nur ein x und y einsetzen kann, mein Punkt ja aber aus drei Zahlen besteht (immerhin bewege ich mich ja im R³) ... was genau übersehe ich? Ich bin mir sicher es ist alles super offensichtlich aber grade bin ich einfach nur verwirrt, denn die Aufgabe sieht super leicht auch aber ich komme wirklich einfach nicht weiter grade.
12.06.2022, 13:21	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Parameterkurve $\begin{eqnarray} \gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \gamma(t):=\begin{pmatrix}t \\ 2t\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Hilfsfunktion. Diese lässt sich mit $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} f\circ\gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ verketten, eine gewöhnliche Funktion in einer Variablen, deren Ableitung $\begin{eqnarray} (f\circ\gamma)'(1) \end{eqnarray}$ sich auf die übliche Weise ermitteln lässt. Es handelt sich um den gesuchten Anstieg, da $\begin{eqnarray} (f\circ\gamma)(t) \end{eqnarray}$ die Höhe der Straße in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ angibt. Alternativ kann man die Kettenregel $\begin{eqnarray} (f\circ\gamma)'(1) = \langle\nabla f(\gamma(1)),\gamma'(1)\rangle \end{eqnarray}$ nutzen. Laut dieser Formel wird der Gradient an der Stelle $\begin{eqnarray} \gamma(1)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ausgewertet.
12.06.2022, 13:46	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
@Finn_ So weit ich das verstehe, geht es hier um die Richtungsableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in Richtung der Kurve $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ und die wäre doch in deiner Nomenklatur $\begin{eqnarray} (f\circ\gamma)'(1) = \langle\nabla f(\gamma(1)),\frac {\gamma'(1)} {\| \gamma'(1) \|}\rangle \end{eqnarray}$
12.06.2022, 14:03	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist mir gerade auch aufgefallen. Ich vergaß, der Wert des Anstiegs soll ja unabhängig davon sein, mit welcher Geschwindigkeit die Parameterkurve durchlaufen wird. Daher ist die Ableitung noch durch die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \|\gamma'(1)\| \end{eqnarray}$ zu dividieren. Der gesuchte Anstieg ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{\|\gamma'(1)\|}(f\circ\gamma)'(1) = \langle\nabla f(\gamma(1)),\frac{\gamma'(1)}{\|\gamma'(1)\|}\rangle. \end{eqnarray}$

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