Differentialgleichung

14.06.2022, 12:10

Thomas007

Differentialgleichung

Hallo zusammen

Ich habe nur eine kleine Frage:
Wenn man eine Differentialgleichung hat wie f'(x) = 4f(x) / x ; warum kann man dann sagen, dass das Integral von f'(x) / f(x) = Integral 4 / x ist?

Danke für die Auskunft!

14.06.2022, 13:10

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Nullstellen besitzen, denn andernfalls könnte eine Division durch null auftreten. Unter dieser Voraussetzung lässt sich die Gleichung offenkundig äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{4}{x} \end{eqnarray*}$

umformen. Weil es sich um eine Identitätsgleichung handeln soll, muss auf der linken Seite dieselbe Funktion stehen wie auf der rechten. Setze $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ außerdem als stetig differenzierbar voraus. Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erst recht stetig und infolge auch $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac{f'(x)}{f(x)}. \end{eqnarray*}$ Das bestimmte Integral einer stetigen Funktion existiert. Infolge muss

$\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^x \frac{f'(t)}{f(t)}\,\mathrm dt = \int_{x_0}^x \frac{4}{t}\,\mathrm dt \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 0<x_0\le x \end{eqnarray*}$ gelten.

14.06.2022, 13:27

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzung

Zitat:

Original von Finn_
Es soll $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Nullstellen besitzen, denn andernfalls könnte eine Division durch null auftreten.

Das weiß man natürlich vorher nicht. Daher kann es passieren, dass man bei dieser Lösungsmethode Lösungen verliert. Tatsächlich ist auch

$\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ eine Lösung der DGL

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 4 \frac {f(x)} x \end{eqnarray*}$

Falls die DGL ursprünglich mal

$\begin{eqnarray*} f'(x) x =4 f(x) \end{eqnarray*}$

war, gilt die Lösung $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ sogar in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

14.06.2022, 15:24

Thomas007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah klar, so macht's natürlich Sinn. smile

Danke für die Klärungen.

Ich hätte diesbezüglich noch eine andere Frage.

Wenn ich die Diffgl f'(x) = 2 / cos(f(x)) habe, wie kommt man dann auf die folgende Äquivalenz?:
Integral von cos(f(x)) * f'(x) dx = sin(f(x)) + C

14.06.2022, 15:48

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist einfach eine Integration mit der Substitutionsregel. Sie ist in der Leibniznotation besonders durchsichtig. Dazu setzen wir $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ und notieren im Kopf, das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt. Dann haben wir

$\begin{eqnarray*} \int \cos y \, y' dx =\int \cos y \frac {dy}{dx}dx=\int \cos y \, dy = \sin y = \sin f(x) \end{eqnarray*}$

14.06.2022, 17:28

Thomas007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhh.... Top, vielen Dank!

Was mir aber immernoch nicht ganz klar ist, wie man von f'(x) = 2 / cos(f(x)) auf das erwähnte Integral kommt. Was wird da gemacht?

14.06.2022, 19:17

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} \cos f(x) \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} \cos \, (f(x)) \,f'(x)=2 \end{eqnarray*}$

Jetzt wird einfach auf beiden Seiten integriert.

$\begin{eqnarray*} \int \cos \, (f(x)) \,f'(x) \,dx = \int 2 \, dx \end{eqnarray*}$

Off topic: Was studierst du?

14.06.2022, 20:17

Thomas007

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh vielen Dank, das klärt nun doch einiges.

Eine letzte Frage für heute hätte ich noch:
Warum / wie kommt man von Integral von f'(x_0)*(f(x_0) + 1) dx = Integral von 2 dx
auf
0.5 * (f(x_0) + 1)^2 = 2x + C ?

Also die rechte Seite ist klar, aber links?

Zur Off-Topic-Frage: Ich mache grade den Kurs "mathematische Anwendungen in der Physik". smile

14.06.2022, 20:41

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn da links wirklich $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ steht, also ein fester Wert, stimmt das nicht. Wenn da aber links auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steht, ist das wieder nur eine Integration mit der Substitutionsregel.

Du bist offenbar schon seit 2011 im Forum aktiv. Dazu 3 vielleicht indiskrete Fragen. Du musst sie nicht beantworten.

(1) Weshalb hast du dich nie angemeldet?
(2) Weshalb benutzt du noch immer kein Latex?
(3) Ist es richtig, dass du jetzt im 21. oder 22. Semester bist?

Wärst du angemeldet, hätte ich dir die Fragen 2 und 3 per PN senden können.

14.06.2022, 21:40

Thomas007

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, aber wäre das Integral nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot f(x)^2 + f(x) + C \end{eqnarray*}$ ?

Zu 1.) Ursprünglich dachte ich nicht, dass ich so viele Beiträge verfassen würde...
2.) Hm, das tue ich eigentlich...
3.) Ich studiere Teilzeit, habe aber ziemlich sicher (in diesem Fall) als Schüler schon Fragen gestellt. 20 Semester habe ich noch nicht auf dem Buckel Augenzwinkern

14.06.2022, 22:10

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Thomas007
Hm, aber wäre das Integral nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot f(x)^2 + f(x) + C \end{eqnarray*}$ ?
...

Ja, auch dies ist eine Stammfunktion, daher richtig.
Wenn du ausquadrierst und den letzten Summand 1/2 zu C (als neue Konstante!)addierst, erkennst du die Identität.

Die andere Funktion ergibt sich aus der Umkehrung der Kettenregel bzw. Anwendung einer Substitution, was hier gleichbedeutend ist.
Du kannst immer auch umgehend die Probe mittels Differentiation ausführen.

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Differentialgleichung

Verwandte Themen