Konstruktion mit Zirkel und Lineal

14.06.2022, 12:59

lukas23

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Meine Frage:
Also kann man mit Zirkel und Lineal addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren,
und Quadratwurzeln ziehen.
und es git 3 Konstruktionsmöglichkeiten warum kann man dann nur die 5
Rechenoperaten möglich

Meine Ideen:
Warum sind dies das die möglichkeiten also geometrisch geht es. wie beweise ich das algebrarisch.
Ich weis bei schnittpunkt zwei geraden ist es ja das nur eine zahl rauskommt weil das lienaren gleichungen sind
bei kreis und gerade wurzel ziehen also 2te wurzel mehr nicht. wie zeige ich dies bei den anderen

14.06.2022, 14:08

Huggy

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RE: Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Schau dir mal das an:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konstrukti...rkel_und_Lineal

14.06.2022, 15:47

Lukas23

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RE: Konstruktion mit Zirkel und Lineal
da hab ich schon geschaut. jedch wird mir die algeraische methode nicht klr

14.06.2022, 17:49

Lukas23

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RE: Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Die Menge der konstruierbaren Zahlen K ist gleich dem Körper, der alle
(endlich iterierten) quadratischen Erweiterungen von Q enthält, also gleich dem reell
quadratisch abgeschlossenen Körper uber Q.
Der Beweis analysiert, auf welche Weise neue Punkte konstruiert werden: Schnitt
von einer Gerade mit einer anderen Gerade fuhrt auf eine lineare Gleichung, Schnitt
von Gerade mit Kreis fuhrt auf eine quadratische Gleichung, und Schnitt von Kreis
mit Kreis fuhrt ebenfalls auf eine Gleichung vom Grad 2 (und nicht etwa 4 !).

Hat irgendjemand Beispiele wie ich das anhand eines Beispieles erklären könnte

14.06.2022, 18:10

Philisimo

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RE: Konstruktion mit Zirkel und Lineal
Für die andere Richtung brauche ich also eine Geradengleichung

ax+b=0
und eine Kreisgleichung (x−x0)^2+(y−y0)^2−r=0
Dabei ist dies ein Kreis um den Punkt (x0/y0) der den Radius r hat.

Jetzt setze ich
1. zwei Geradengleichungen gleich
2. eine Kreis und eine Geradengleichung gleich
3. zwei Kreisgleichungen gleich

Bei den zwei geraden gleichung
ax+b= ax+b
da kommt dann x=x reicht das als beweis
bei kreis und geradengleichung
ax+b= (x-x0)^2 +(y-y0)^2-r
dann hab ich raus x^2+x0^2-x= (y^2-y0^2-r-b)/a
und irgendwann müsste ich auf eine wurzel kommen jedoch hänge ich gerade

und bei zwei kreisen

(x-x0)^2 +(y-y0)^2-r = (x-x0)^2 +(y-y0)^2-r
und dann stecke ich fest weil dann x^2+x0^2-x= x^2+x0^2-x rauskommt

Natürloch kann man auch mit zahlen beispiele benutzen aber dann weis ich nicht ob das reicht für beweis als kreis und zirkel und konstruierbarkeit

14.06.2022, 19:48

Huggy

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RE: Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Zitat:

Original von Lukas23
Hat irgendjemand Beispiele wie ich das anhand eines Beispieles erklären könnte

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dein Problem verstehe. Die im obigen Link angegebenen Konstruktionen sind doch alle mit Zirkel und Lineal durchführbar, also durch das Zeichnen von Geraden und Kreisen, wobei sich Schnittpunkte ergeben. Damit kannst du jeden geschachtelten Ausdruck konstruieren. Man beginnt mit den innersten Schachteln und arbeitet sich nach außen.

Angenommen, du möchtest

$\begin{eqnarray*} \sqrt {1+\frac {\sqrt 2}{\sqrt {3+\sqrt 5}}} \end{eqnarray*}$

konstruieren. Gegeben ist zunächst nur eine Strecke der Länge $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Dann konstruierst du zunächst $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} 3+ \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ ,
dann $\begin{eqnarray*} \sqrt {3+\sqrt 5} \end{eqnarray*}$ usw.

15.06.2022, 14:08

Elvis

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@Philisimo
Wenn du wissen möchtest, wie man algebraisch Schnittpunkte zwischen Kreisen und Geraden berechnet, dann darfst du z.B. nicht eine Gerade $\begin{eqnarray*} y=ax+b \end{eqnarray*}$ mit sich selbst schneiden also $\begin{eqnarray*} ax+b=ax+b \end{eqnarray*}$ , sonst bekommst du die ganze Gerade und nicht einen Schnittpunkt. Ebenso darfst du nicht zwei parallele Geraden schneiden, also $\begin{eqnarray*} ax+b=ax+c \end{eqnarray*}$ , denn zwei parallele Geraden schneiden sich nicht. Sinnvoll wird der Ansatz $\begin{eqnarray*} y_1=ax+b, y_2=cx+d, a\ne c \end{eqnarray*}$ , denn daraus kann man mit $\begin{eqnarray*} y_1=y_2 \end{eqnarray*}$ folgern $\begin{eqnarray*} ax+b=cx+d\Rightarrow (a-c)x=d-b\Rightarrow x=\frac {d-b}{a-c}\Rightarrow y=\frac {ad-bc}{a-c} \end{eqnarray*}$ . der Schnittpunkt ist also $\begin{eqnarray*} S=(x,y)=(\frac {d-b}{a-c},\frac {ad-bc}{a-c}) \end{eqnarray*}$ . Ebenso kannst du mit geeigneten Geraden und verschiedenen Kreisen einen oder zwei Schnittpunkte berechnen, wenn ein oder zwei Schnittpunkte existieren.

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