Differenz maximieren

14.06.2022, 17:38

Amelie_s

Differenz maximieren

Meine Frage:
Die Aufgabe- siehe Bild bereitet mir Probleme. Ich weiß, dass man eine Zielfunktion erstellen muss, aber mir fehlt der Ansatz

Meine Ideen:
also meine Zielgröße ist die Differenz von 2 Punkten, gibt es da eine Formel?
Aber was mache ich mit der Nebenbedingung und wie pack ich die 2 Formeln da rein?

14.06.2022, 17:55

Elvis

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Wie die eindeutige Lösung ist, sieht man schon am Bild. Rechnerisch bekommt man die Lösung, wenn man die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x),x\le 1 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ setzt. Es geht also analytisch nicht wirklich um die Differenz von 2 Punkten sondern um das Maximum einer (Differenz-)Funktion.

14.06.2022, 18:05

Amelie__s

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also demnach dann d(x)=e^x-x*e^x
beim ableiten bleibt das dann gleich oder, weil e^x verändert sich nicht ? da bin ich mir jetzt aber irgendwie unsicher...

14.06.2022, 19:14

Elvis

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Die Ableitung von e^x ist e^x, da hast du ganz recht.
Das was dasteht ist eine Differenz, und bekanntlich ist die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen, die Ableitung einer Differenz die Differenz der Ableitungen.
g(x)=x*e^x ist ein Produkt, sicher kennst du auch die Produktformel, die sagt uns, wie man ein Produkt ableitet.
Diese Grundformeln musst du nur noch zusammenbauen, das geht ganz schnell und einfach, es ist so ähnlich wie das Zusammenbauen von drei Legosteinchen (ein Kinderspiel, das dir hoffentlich bekannt ist - ich weiß nicht, ob Kinder heute noch mit Legosteinchen spielen, aber ich bin davon überzeugt, dass so einfache Spiele die Fähigkeiten von kleinen Kindern ebenso vergrößern wie Ableitungen die Fähigkeiten von Schülern vergrößern).

14.06.2022, 19:24

maximierer

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Zitat:

Aber was mache ich mit der Nebenbedingung und wie pack ich die 2 Formeln da rein?

Wenn du es nach dem typischen Schema bei Extremwertaufgaben haben möchtest, dann kann man es formal so angehen:

Hauptbedingung HB: $\begin{eqnarray*} d=y_P-y_Q \end{eqnarray*}$

Nebenbedingungen NB: $\begin{eqnarray*} y_P=f(u)=e^u \ ~ \text{und} \ ~ y_Q=g(u)=u \cdot e^u \end{eqnarray*}$

NB in HB einsetzen liefert die Zielfunktion $\begin{eqnarray*} d(u)=e^u-u \cdot e^u=e^u \cdot (1-u) \end{eqnarray*}$ mit der Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} u \leq 1 \end{eqnarray*}$

Davon nun das absolute Maximum bestimmen (globaler HP) und für das Ableiten benötigst du die so genannte Produktregel.

14.06.2022, 19:50

Amelie___

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Also demnach wäre die Ableitung f(u)=-u*e^u oder ?
aber wie kann ich das nach 0 auflösen ?
Ich hätte es so gemacht:
0=-u*e^u /:-u
0=e^u /ln

aber der ln(0) geht ja gar nicht unglücklich

was ist das Problem hier ?

14.06.2022, 19:53

Elvis

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Richtige Ableitung, bravo. Rest ist simpel. Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist, sonst nicht. e^u ist nie 0, also Ableitung 0, genau dann wenn u=0. x=0, Differenz f(0)-g(0)=P-Q=1. Passt.

(Dein Problem war, dass du nicht durch u teilen darfst, wenn u=0 ist !)

14.06.2022, 20:00

Amelie____

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ok super !
Vielen dank, das hat mir sehr geholfen smile

14.06.2022, 21:50

Elvis

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Selber super! Es hat Spaß gemacht, zur Abwechslung mal jemandem zu helfen, die / der etwas kapiert. Tipp : Registriere dich im Matheboard, dann hast du ein paar Vorteile. Und wir arbeiten lieber mit Leuten, die vernünftig sind und die wir wiedererkennen.

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