Seiten im Mittendreieck sind parallel zum Ausgangsdreieck

14.06.2022, 18:31

Malcang

Seiten im Mittendreieck sind parallel zum Ausgangsdreieck

Hallo zusammen,

ich schaue mir gerade eine Aufgabe zum Mittendreieck an. Sei also $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ ein Dreieck und $\begin{eqnarray*} A'B'C' \end{eqnarray*}$ das Mittendreieck mit $\begin{eqnarray*} A' = \frac{1}{2}(B+C),B' = \frac{1}{2}(A+C),C' = \frac{1}{2}(A+B) \end{eqnarray*}$ .
Nun soll ich elementargeometrisch begründen, warum der Höhenschnittpunkt in $\begin{eqnarray*} A'B'C' \end{eqnarray*}$ übereinstimmt mit dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in $\begin{eqnarray*} ABC. \end{eqnarray*}$
Nun, mir ist klar, dass die Höhe auf $\begin{eqnarray*} A'B' \end{eqnarray*}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ steht und außerdem durch die mitte geht. Analog folgt dies für die anderen Seiten und daher folgt die Behauptung.
Mir fehlt nur eine vernünftige Begründung, warum $\begin{eqnarray*} A'B' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ parallel sind.

Könnt ihr mir da einen Denkanstoß geben?

Edit: Dank Umkehrung des 1. Strahlensatzes geht es zwar, aber der war zum Zeitpunkt dieser Aufgabe noch nicht bekannt.

14.06.2022, 20:11

Huggy

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RE: Seiten im Mittendreieck sind parallel zum Ausgangsdreieck
Das Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ geht aus dem Dreieck $\begin{eqnarray*} A'B'C \end{eqnarray*}$ durch zentrische Streckung um den Faktor $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ hervor. Die beiden Dreiecke sind also ähnlich, haben also dieselben Winkel. Damit folgt aus der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes, dass die Seiten $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A'B' \end{eqnarray*}$ parallel sind.

14.06.2022, 20:56

Mathema

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Oder du verlängerst die Verbindung von 2 Mitten:

[attach]55373[/attach]

DBXE ist ein Parallelogramm (Diagonalen halbieren einander).
ABXD ist ein Parallelogramm (BX und DA sind gleich lang und parallel).

14.06.2022, 22:44

Malcang

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Ich danke euch beiden für die hilfreichen Antworten Freude

@Mathema: Du hast einen Typo drin.

Zitat:

DBXE ist ein Parallelogramm (Diagonalen halbieren einander).

Sollte wohl DBXC sein Augenzwinkern

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Seiten im Mittendreieck sind parallel zum Ausgangsdreieck

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