Extrema einer Cosinusfunktion

14.06.2022, 20:42

_Bastii

Extrema einer Cosinusfunktion

Guten Abend,

ich soll von folgender Funktion die Extrema bestimmen.

$\begin{eqnarray*} f(x) = x + 2 * cos(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

Grundsätzlich weiß ich wie man Extremstellen bestimmt aber bei den trigonometrischen Funktionen tue ich mich sehr schwer.

Ich habe erstmal die erste Ableitung gebildet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 - 2 * sin(x) \end{eqnarray*}$

Und diese dann 0 gesetzt:

$\begin{eqnarray*} 1 - 2 * sin(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} \end{eqnarray*}$

Durch die Periode von Sinus, müssten sich die Nullstellen im Abstand von $\begin{eqnarray*} 2\pi * k, k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ wiederholen, also $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi }{6} + 2\pi * k, k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Wenn ich $\begin{eqnarray*} f'(\frac{\pi }{6} + 2\pi * k) = 1 - 2 * sin(x), k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ausrechne, erhalte ich auch 0 als Ergebnis. Das scheint also nicht komplett falsch zu sein.

Als nächstes bilde ich die zweite Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = -2*cos(x) \end{eqnarray*}$

Und setze dort Testweise mal $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi }{6} \end{eqnarray*}$ ein:

$\begin{eqnarray*} f''(\frac{\pi }{6} ) = -2*cos(\frac{\pi }{6}) = -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Komischerweise erhalte ich hier ein Ergebnis ...
Wenn ich mir jedoch die Ausgangsfunktion, z. B. bei Wolfram Alpha, mal zeichnen lasse, erkenne ich da keine Extremstellen.

Ich habe das Gefühl hier etwas grundlegend falsch gemacht zu haben.
Kann mir jemand weiterhelfen?

14.06.2022, 20:52

Mathema

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Da liegt doch ein Hochpunkt.

https://www.desmos.com/calculator/ixowbviwgd

Du hast aber die zweite Lösung durch die Lösung der Symmetrie am Einheitskreis vergessen.

15.06.2022, 10:54

_Bastii

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Stimmt, habe mich vertan.

Aber was meinst du damit:

Zitat:

Du hast aber die zweite Lösung durch die Lösung der Symmetrie am Einheitskreis vergessen.

15.06.2022, 11:31

Steffen Bühler

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Schau Dir mal die Sinusfunktion an:

Nicht nur für $\begin{eqnarray*} x=\frac {\pi}6 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sin(x)=0,5 \end{eqnarray*}$ , sondern auch für einen zweiten Wert, dessen Lage Du durch Symmetrieüberlegungen bestimmt leicht ermitteln kannst.

Viele Grüße
Steffen

15.06.2022, 14:18

_Bastii

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Ich habe mir die Funktion $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ nochmal genauer angesehen. Die Funktion hat bei $\begin{eqnarray*} sin(0) \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} sin(\pi) \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle. Und $\begin{eqnarray*} sin\left(\frac{1}{2} \right) = \frac{\pi }{6} \end{eqnarray*}$ , demnach müsste der zweite Wert im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,\pi \right] \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} \pi - \frac{\pi }{6} = \frac{5\pi }{6} \end{eqnarray*}$ liegen.

Demnach sind die Nullstellen von
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L = \left\{ x \in \mathbb R | x = \frac{\pi }{6} + 2\pi * k \vee x = \frac{5\pi }{6} + 2\pi * k, k \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die zweite Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f''(\frac{\pi }{6}) = -\sqrt{3} < 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f''(\frac{5\pi }{6}) = \sqrt{3} > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$ besitzt bei $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi }{6} + 2\pi * k \end{eqnarray*}$ ein Maximum
und
bei $\begin{eqnarray*} x = \frac{5\pi }{6} + 2\pi * k \end{eqnarray*}$ ein Minimum.

15.06.2022, 14:26

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von _Bastii
Und $\begin{eqnarray*} sin\left(\frac{1}{2} \right) = \frac{\pi }{6} \end{eqnarray*}$

Ahem...

Zitat:

Original von _Bastii
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$ besitzt bei $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi }{6} + 2\pi * k \end{eqnarray*}$ ein Maximum
und
bei $\begin{eqnarray*} x = \frac{5\pi }{6} + 2\pi * k \end{eqnarray*}$ ein Minimum.

Das ist korrekt:

15.06.2022, 14:36

Leopold

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Grundsätzlich gilt das Folgende.

Für $\begin{align*} |a|<1 \end{align*}$ haben die Gleichungen $\begin{align*} \sin(x)=a \, , \ \ \cos(x)=a \end{align*}$ in einem Intervall der Länge $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ jeweils genau 2 Lösungen. Alle weiteren Lösungen erhält man durch Addition ganzzahliger Vielfacher von $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ .

Genauer kann man sagen:

1. Im Intervall $\begin{align*} \left[ - \frac{1}{2} \pi , \frac{3}{2} \pi \right] \end{align*}$ hat die Gleichung $\begin{align*} \sin(x) = a \end{align*}$ die Lösungen

$\begin{align*} x = x_1 = \arcsin(a) \, , \ \ x = x_2 = \pi - \arcsin(a) \end{align*}$

2. Im Intervall $\begin{align*} \left[ - \pi , \pi \right] \end{align*}$ hat die Gleichung $\begin{align*} \cos(x) = a \end{align*}$ die Lösungen

$\begin{align*} x = x_1 = \arccos(a) \, , \ \ x = x_2 = - \arccos(a) \end{align*}$

Alle weiteren Lösungen erhält man durch Addition ganzzahliger Vielfacher von $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ zu jeweils $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ oder $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ .

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