Gebrochen rationale Funktion

15.06.2022, 15:15	philis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gebrochen rationale Funktion Meine Frage: phi: B1(0) ? B1(0) holomorph und bijektiv. Zeigen Sie phi ist eine gebrochen lineare Abbildung Meine Ideen: Ich kenne die form der rationalen gebrochenen fkt wie löse ich jedoch die aufgabe
15.06.2022, 21:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das scheint nicht so ganz trivial zu sein. Tristan Needham "Anschauliche Funktionentheorie" zeigt das im Kapitel 7.7.1 "Lemma von Schwarz" (Seiten 414-416), nachdem er sich vorher lang und breit über Möbiustransformationen, hyperbolische Geometrie, Automorphismen der Einheitskreisscheibe, Windungszahlen und Topologie ausgelassen hat. Ich habe den Beweis noch nicht ganz verdaut, aber ich studiere das Buch auch erst seit einem Jahr.
16.06.2022, 15:43	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Lemma on Schwarz scheint jedenfalls eine gute Idee zu sein. Mit ihm kann man zeigen, wenn $\begin{eqnarray} f(z) \end{eqnarray}$ eine bijektive holomorphe Funktion $\begin{eqnarray} B_1(0) \to B_1(0) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} f(z)=\alpha z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\alpha\| =1 \end{eqnarray}$ , also eine Drehung um den Nullpunkt. Nun betrachte man die Funktion $\begin{eqnarray} h_a(z)= \frac {z-a}{\bar a z-1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|a\|<1 \end{eqnarray}$ . Dann kann bei $\begin{eqnarray} z \in B_1(0) \end{eqnarray}$ der Nenner nicht Null werden. Also ist das in $\begin{eqnarray} B_1(0) \end{eqnarray}$ eine holomorphe Funktion. Man zeige nun $\begin{eqnarray} \|h_a(z)\|<1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|z\|<1 \end{eqnarray}$ . Damit ist das eine Abbildung $\begin{eqnarray} B_1(0) \to B_1(0) \end{eqnarray}$ . Man rechnet außerdem leicht aus $\begin{eqnarray} h_a^{-1}(z)=h_a(z) \end{eqnarray}$ Damit ist die Abbildung bijektiv und es ist $\begin{eqnarray} h_a(a)=0 \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} h(z) \end{eqnarray}$ eine beliebige bijektive holomorphe Abbildung $\begin{eqnarray} B_1(0)\to B_1(0) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(0)=a \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} (h_a \circ h)(z)=h_a(h(z)) \end{eqnarray}$ als Komposition ebenfalls eine bijektive holomorphe Abbildung $\begin{eqnarray} B_1(0)\to B_1(0) \end{eqnarray}$ und es ist $\begin{eqnarray} (h_a \circ h)(0)=h_a(h(0))=h_a(a)=0 \end{eqnarray}$ Nach obiger Folgerung aus dem Lemma von Schwarz ist daher $\begin{eqnarray} (h_a \circ h)(z)=h_a(h(z))=\alpha z \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} h(z)=h_a^{-1}(\alpha z)=h_a(\alpha z)=\frac {\alpha z-a}{\bar a \alpha z-1} \end{eqnarray}$ und das ist eine gebrochen lineare Abbildung.

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