Erzeugendensystem eines Moduls

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15.06.2022, 15:42	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem eines Moduls Hallo Leute, Sei K eine Körper und A eine Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\0 & \lambda& 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \in K^{3x3} \end{eqnarray}$ durch x.v=Av , $\begin{eqnarray} v \in K^3 \end{eqnarray}$ wird auf $\begin{eqnarray} K^3 \end{eqnarray}$ die Struktur eines K[x] Moduls definiert. Jetzt gilt es ein Erzeugendensystem minimaler länge zu finden, und zu beweisen, dass es kein kleineres geben kann. Meine Idee: Wir starten mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann stellen wir fest, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} =A\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}-\lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \end{eqnarray}$ also linear abhängig ist, dann nehmen wir also den ersten Vektor raus. und dann haperts... wie kann ich zeigen dass es kein kleineres erzeugendensystem gibt, als das mit den 2 Elementen?
16.06.2022, 10:22	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Hat niemand eine Idee? ...
16.06.2022, 11:23	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Ein kürzeres Erzeugendensystem würde ja genau einen Vektor $\begin{eqnarray} v_0 \end{eqnarray}$ enthalten. Dann müsste $\begin{eqnarray} \mathbb K ^3 =\{p(A)v_0:p\in \mathbb K[x]\} \end{eqnarray}$ sein. Der Grad des Minimalpolynoms $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist zwei. Also muss man nur lineare Polynome betrachten. Edit: Bezeichnung des Minimalpolynoms korrigiert.
16.06.2022, 11:53	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Mhh... Das hab ich leider nicht ganz verstanden... Wie hängt denn das ganze mit dem charakteristischen Polynom zusammen?
16.06.2022, 12:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Nicht charakteristisches Polynom sondern Minimalpolynom Die Idee ist dann eine Polynomdivision $\begin{eqnarray} p=q\mu +r \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} p(A)=q(A)\mu(A)+r(A)=r(A) \end{eqnarray}$ Die Verwendung des Minimalpolynoms erlaubt also die Reduktion eines allgemeinen Polynoms $\begin{eqnarray} p\in \mathbb K [x] \end{eqnarray}$ auf seinen Rest $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und der kann höchstens linear sein.
16.06.2022, 12:27	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Ah ja genau, das Minimalpolynom kenn ich doch, hatte mich nur verlesen. Jetzt weiß ich aber glaube ich wo es bei mir harkt... Was ist p(A) ich dachte das wäre einfach die von A induzierte lineare Abbildung, aber dann ergibt deine Gleichung p(A)=q(A)... ja keinen Sinn. Was also ist p(A)?
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16.06.2022, 12:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls $\begin{eqnarray} p(A) \end{eqnarray}$ ist die Matrix, die entsteht, wenn du $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ in das Polynom $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ einsetzt. Beispiel: Für $\begin{eqnarray} p(x)=x^2-x+5 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} p(A)=A^2-A+5E \end{eqnarray}$ mit der Einheitsmatrix $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$
16.06.2022, 13:01	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Ach hey Dankeschön für die Erklärung. Ich hab jetzt einfach mal das Restpolynom genommen und es als linearen Term angenommen, also m.A+b.E=v dann habe ich für $\begin{eqnarray} v_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gewählt, und kam dann darauf das v1=0 und v1=-m/(m\lambda+b)^2 sein muss. und da ist mein Widerspruch, oder?
16.06.2022, 13:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Ich verstehe deine Bezeichnungen nicht, aber ich glaube, du hast den Weg erkannt
16.06.2022, 14:34	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Ja hast Recht ist ein wenig durcheinander... Also wir haben unser Polynom mx+b mit A also m.A+m.E jetzt wählen wir unseren Basisvektor $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ da unser Basis vektor ganz $\begin{eqnarray} K^3 \end{eqnarray}$ erzeugt also gibt es Polynome p1 und p2 sodass $\begin{eqnarray} p1.v=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p2.v=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sei p1=mx+b und p2=nx+a dann kommt man durch nachrechnen darauf, dass $\begin{eqnarray} v1=\frac{m}{(m\lambda+b)^2} \end{eqnarray}$ und gleichzeitig ist $\begin{eqnarray} \frac{(n\lambda+a)^2v_1}{n} =0 \end{eqnarray}$ Wegen der Minimalität des Minimalpolynoms ist also v1=0 und gleichzeitig v1 nicht gleich 0... widerspruch.
16.06.2022, 21:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Deine Argumentation verstehe ich nicht. Was hat das mit der Minimalität des Minimalpolynoms zu tun? Die Rechnungen sind auch fragwürdig. Warum ist $\begin{eqnarray} m\lambda +b \neq 0 \end{eqnarray}$ ?
17.06.2022, 12:04	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Also $\begin{eqnarray} p_1=m \lambda +b\neq 0 \end{eqnarray}$ , da sonst $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} m\lambda+b&m+b&0\\0 & m\lambda+b&0\\ 0 & 0 &m\lambda+b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&m+b&0\\0 & 0&0\\ 0 & 0 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0&m+b&0\\0 & 0&0\\ 0 & 0 &0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (m+b)\cdot v_2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bei der Minimalität des Minimalpolynoms hatte ich einen Denkfehler, aber man kann jetzt ähnlich argumentieren, dass $\begin{eqnarray} n\lambda+a\neq 0 \end{eqnarray}$ und dann bekommt man für den Wert v1 Raus, dass er gleichzeitig 0 und nicht null ist... Widerspruch. Oder habe ich noch mehr Denkfehler
17.06.2022, 13:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls So richtig gelungen finde ich das noch immer nicht: Das zweite Element in der ersten Zeile deiner Matrix ist falsch. Zudem scheint es mir nicht geschickt, mit der Komponente $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ zu argumentieren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} m\lambda+b&m&0\\0 & m\lambda+b&0\\ 0 & 0 &m\lambda+b\end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (m\lambda+b)v_1+mv_2\\(m\lambda+b)v_2\\(m\lambda+b)v_3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aus der dritten Komponente folgt $\begin{eqnarray} m\lambda+b \neq 0 \end{eqnarray}$ , aus der zweiten dann $\begin{eqnarray} v_2\neq 0 \end{eqnarray}$ Für den anderen Vektor kann man jetzt genauso aus der dritten Komponente auf $\begin{eqnarray} n\lambda +a\neq 0 \end{eqnarray}$ und dann auf $\begin{eqnarray} v_2=0 \end{eqnarray}$ schließen und hat den Widerspruch. Argumentiert man mit $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ muss man zuerst noch nach $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ auflösen, was bei $\begin{eqnarray} v_2, v_3 \end{eqnarray}$ trivial ist. Alternativ kann man argumentieren, dass das Verhältnis von zweiter und dritter Komponente in $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} (m\lambda+b)v_1+mv_2\\(m\lambda+b)v_2\\(m\lambda+b)v_3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} v_2/v_3 \end{eqnarray}$ ist und das ist sicher nicht für alle Vektoren aus $\begin{eqnarray} \mathbb K ^3 \end{eqnarray}$ richtig.
17.06.2022, 16:35	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem eines Moduls Ja stimmt dein Beispiel ist schöner. Vielen lieben Dank!

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