Mittelwertsatz bei Parametrisierung der Einheitskreiskurve

15.06.2022, 18:35	Sunv2	Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz bei Parametrisierung der Einheitskreiskurve Meine Frage: Aufgabe: Wir betrachten die Standard-Parametrisierung der Einheitskreislinie, also die Kurve $\begin{eqnarray} \gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}\right) \) \end{eqnarray}$ Zeigen Sie für jedes t ungleich 0, dass es kein $\begin{eqnarray} \( \tau \in \mathbb{R} \) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} frac{\gamma(t)-\gamma(0)}{t}=\dot{\gamma}(\tau) \end{eqnarray}$ geben kann Hinweis: Es gilt $\begin{eqnarray} \( 2(1-\cos (t))=4 \sin ^{2}\left(\frac{t}{2}\right) \) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe jetzt nach einsetzen und umformen die 2 Gleichungen 2 (1- cos (t) ) = 2 * sin (?) * t sin (t) = cos (?) * t aufgestellt und mein Ansatz ist zu zeigen, dass ? nicht beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen kann, aber da stehe ich leider komplett auf dem Schlauch wie ich da vorgehen kann.
15.06.2022, 18:42	Sunv2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz bei Parametrisierung der Einheitskreiskurve Hey ich kann den Beitrag leider nicht mehr bearbeiten, das soll natürlich $\begin{eqnarray} \frac{\gamma (t) - \gamma (0)}{t}=\dot{\gamma}(\tau) ) \end{eqnarray}$ sein. Ich stelle mich mit dem Hinweis auch leider irgendwie blöd an und weiß nicht wie ich den benutzen kann. (Und die Fragezeichen sollen eigl $\begin{eqnarray} (\tau) \end{eqnarray}$ sein)
15.06.2022, 19:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz bei Parametrisierung der Einheitskreiskurve Wenn die Seiten gleich sein sollen, dann muss auch die Länge des Vektors gleich sein. Jetzt ist trivialerweise $\begin{eqnarray} \| \dot\gamma(\tau) \| =1 \end{eqnarray}$ egal was $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ ist. Auf der anderen Seite den Betrag (zum Quadrat) nehmen, bekommen wir $\begin{eqnarray} \frac 1 {t^2} \left ( (1 - \cos(t))^2 + \sin(t)^2 \right) = \frac 2 {t^2} ( 1 - \cos(t)) \end{eqnarray}$ . Und da passt nun die angegebene Identität super drauf.
16.06.2022, 02:48	Sunv2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz bei Parametrisierung der Einheitskreiskurve Omg danke dir, an den Betrag bzw. die Länge hatte ich gar nicht mehr gedacht Wäre das Abschlussargument also einfach, dass $\begin{eqnarray} 4 sin^{2} (\frac{t}{2})=t^{2} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} t = arcsin (t) \end{eqnarray}$ sein müsste, was ein Widerspruch ist da wir ja $\begin{eqnarray} t \neq 0 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt haben?
16.06.2022, 11:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz bei Parametrisierung der Einheitskreiskurve Ich würde da vorsichtiger sein, alleine wegen dem Betrag wenn du einfach so die Wurzel ziehst. Wir haben $\begin{eqnarray} \left ( \frac 2 t \sin \frac t 2 \right )^2 = 1 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \left\|\frac 2 t \sin \frac t 2\right\| = 1 \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} s = \frac t 2 \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \left\| \frac {\sin s}{s}\right\| = 1 \end{eqnarray}$ . Eine Abschätzung (z.B. via Taylor) zeigt aber, dass $\begin{eqnarray} \|\sin(s)\| < \|s\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} s \neq 0 \end{eqnarray}$ .
16.06.2022, 21:35	Sunv2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz bei Parametrisierung der Einheitskreiskurve Stimmt das ist wesentlich schlauer, vor allem da man eigl. ja auch noch zeigen müsste dass $\begin{eqnarray} arcsin (t) \neq t <br /> \forall t\neq 0 \end{eqnarray}$ wirklich stimmt. Vielen Dank nochmals für deine Hilfe, mit Taylor habe ich das jetzt auch hinbekommen - da man die Ungleichung ja nur für s<1 mit Taylor beweisen muss. Aber kannst du mir vlt noch kurz erklären warum das Wurzelziehen problematisch werden kann? Dachte weil wir sowieso die Länge betrachten geht das in Ordnung.
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16.06.2022, 22:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz bei Parametrisierung der Einheitskreiskurve Wenn du einfach die Wurzel ziehst, bekommst du erst einmal $\begin{eqnarray} 4 sin^{2} (\frac{t}{2})=t^{2} \iff \left\|sin (\frac{t}{2})\right\|=\frac{\|t\|}2 \end{eqnarray}$ . Hier müsstest du Fallunterscheidungen machen, wenn du jetzt arcsin anwenden willst. Alternativ wäre $\begin{eqnarray} 4 sin^{2} (\frac{t}{2})=t^{2} \iff \left ( sin (\frac{t}{2})- \frac t 2 \right)\left ( sin (\frac{t}{2})+ \frac t 2 \right)= 0 \end{eqnarray}$ . D.h. du müsstest eigentlich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \arcsin(s) = \pm s \end{eqnarray}$ keine weiteren Lösungen hat.

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